Cho 3 số x,y,z >0 và x+y+z=1.Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$
Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$
#1
Đã gửi 25-01-2014 - 10:37
Trí tưởng tượng quan trọng hơn tri thức.Vì tri thức chỉ có giới hạn còn trí tưởng tượng bao trùm cả thế giới.(Einstein)
#2
Đã gửi 25-01-2014 - 10:40
Cho 3 số x,y,z >0 và x+y+z=1.Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$
Ta có :$\sum \frac{x}{x+1}=\sum \frac{x}{x+x+y+z}=\sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{x}{x+z})=\frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{y}{x+y})=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$
- hoctrocuanewton, canhhoang30011999, wtuan159 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 25-01-2014 - 11:06
Ta có :$\sum \frac{x}{x+1}=\sum \frac{x}{x+x+y+z}=\sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{x}{x+z})=\frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{y}{x+y})=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$
có cách khác ko bạn?
Trí tưởng tượng quan trọng hơn tri thức.Vì tri thức chỉ có giới hạn còn trí tưởng tượng bao trùm cả thế giới.(Einstein)
#4
Đã gửi 25-01-2014 - 11:20
có cách khác ko bạn?
$\sum \frac{x}{x+1}=3-\sum \frac{1}{x+1}\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$
- buiminhhieu và canhhoang30011999 thích
tàn lụi
#5
Đã gửi 25-01-2014 - 11:24
Ta có: $1-P=(x-\frac{x}{1+x})+(y-\frac{y}{1+y})+(z-\frac{z}{1+z})$
$=\frac{x^{2}}{1+x}+\frac{y^{2}}{1+y}+\frac{z^{2}}{1+z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+x+y+z}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow P\leq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$
#6
Đã gửi 25-01-2014 - 12:58
áp dụng bđt schwars
ta có
$P=\sum \frac{x}{x+1}=3-\sum \frac{1}{1+x}\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}$
p/s: vội vàng post nên bây giờ xem lại mới thấy đã có cách này rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 25-01-2014 - 13:02
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh