Chủ đề này có 3 trả lời

[phuocdinh1999]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

BĐT $< = >\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}-\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{ab(a-b)-ac(c-a)}{(b^2+c^2)(b+c)}=\sum ab(a-b)(\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(c^2+a^2)(c+a)})\geq 0$

Luôn đúng vì đây là phương pháp khai triển SOS

[banhgaongonngon]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Cách $1$:

 

Bất đẳng thức đã cho là bất đẳng thức đối xứng với $3$ biến $a,b,c$ nên ta hoàn toàn có thể giả sử $a\geq b\geq c$

 

Khi đó, ta có

$\left\{\begin{matrix} ab(a-b)+ca(a-c)\geq 0\\ ca(c-a)+bc(c-b)\leq 0 \end{matrix}\right.$

 

Do đó

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ca(a-c)}{(b+c)\left ( b^{2}+c^{2} \right )}\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(c+a)\left ( c^{2}+a^{2} \right )}\\ \frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)+ab(b-a)}{(c+a)\left ( c^{2}+a^{2} \right )} \\ \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{ca(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)\left ( a^{2}+b^{2} \right )}\geq \frac{ca(c-a)+bc(c-b)}{(c+a)\left ( c^{2}+a^{2} \right )} \end{matrix}\right.$

 

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

 

Cách $2$:

 

Đặt $(x_{1},x_{2},x_{3})=\left ( \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}},\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}},\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right )$ và $(y_{1},y_{2},y_{3})=\left ( \frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c} \right )$

thì $0 < x_{i},y_{i} < 1$ và $\sum_{i=1}^{3}x_{i}=\sum_{i=1}^{3}y_{i}=1$

 

Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành

$\sum_{i=1}^{3}\frac{x_{i}}{1-x_{i}}\geq \sum_{i=1}^{3}\frac{y_{i}}{1-y_{i}}$            $(*)$

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$ hay $\left\{\begin{matrix} x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\\ y_{1}\geq y_{2}\geq y_{3} \end{matrix}\right.$

 

Ta có

$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \frac{a}{b}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$

Tương tự $\frac{x_{1}}{x_{3}}\geq \frac{y_{1}}{y_{3}}$

Do đó $\left ( x_{1},x_{2},x_{3} \right )\gg \left ( y_{1},y_{2},y_{3} \right )$

Áp dụng bất đẳng thức $\mathrm{Karamata}$ cho hàm $f(x)=\frac{x}{1-x},x\in (0;1)$ ta có bất đẳng thức $(*)$

[KietLW9]

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqq 0$