Chủ đề này có 3 trả lời

[Gioi han]

Cho 3 số $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ và thoả mãn $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )=1$.

Tìm $\text{GTNN}$ của $P=a^2+b^2+c^2$

[luuvanthai]

Đặt $\frac{1}{a}-1=x;\frac{1}{b}-1=y;\frac{1}{c}-1=z\Rightarrow xyz=1$

$P=\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}$

Luôn có bdt $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}$

Khảo sát $f(z)=\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{z}{z+1\geq \frac{3}{4}}$

............................................................................................................hết?

[Ispectorgadget]

Cho 3 số $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ và thoả mãn $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )=1$.

Tìm $\text{GTNN}$ của $P=a^2+b^2+c^2$

$xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\iff x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(x+y+z)+2-4xyz$
$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \ge (x+y+z)^2-2(x+y+z)+2-4\left(\frac{x+y+z}{3} \right )^3$$
Đặt $t=x+y+z; (t\in (0;3))$

Xét $g(t)=-\frac{4}{27}t^3+t^2-2t+2; t\in (0;3)$
$g'(t)=0 \iff t=3/2;t=3$

Từ bảng biến thiên ta có $VT \ge g(t)\ge g(3/2)=\frac{3}{4}$

Khi đó $t=\frac{3}{2}\iff x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-01-2014 - 21:43

[Binh Le]

Mình bổ sung thêm cách đoạn sau dễ chơi hơn 

$\frac{1}{(1+z)^{2}}+\frac{1}{(1+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+z}=\frac{xyz}{xyz+z}=\frac{xy}{xy+1}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{4}\geq 1\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$