Chủ đề này có 5 trả lời

[tranthanhhung]

chứng minh các bđt và tìm cực trị của các hàm số sau:

1) tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4}{x}+\frac{9}{1-x}$ với 0 < x < 1

2) tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ với 0 < x < 1

3) chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$ với mọi a $\geq$ 1

[Hoang Tung 126]

chứng minh các bđt và tìm cực trị của các hàm số sau:

1) tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4}{x}+\frac{9}{1-x}$ với 0 < x < 1

2) tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ với 0 < x < 1

3) chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$ với mọi a $\geq$ 1

Bài 1: Theo Bunhiacopxki có :$y=\frac{4}{x}+\frac{9}{1-x}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{1-x}\geq \frac{(2+3)^2}{x+1-x}=25$

Bài 2:Ta có:$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\geq \frac{(1+1)^2}{x+1-x}=4$

[Phuong Thu Quoc]

chứng minh các bđt và tìm cực trị của các hàm số sau:

1) tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4}{x}+\frac{9}{1-x}$ với 0 < x < 1

2) tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ với 0 < x < 1

3) chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$ với mọi a $\geq$ 1

3/ BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}< \frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\Leftrightarrow \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}< 2\sqrt{a}$

Mặt khác ta có BĐT $x+y\leq \sqrt{2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}$

Do đó BĐT cuối đúng và do đó BĐT ban đầu được chứng minh.( vì $a+1\neq a-1$ )

[tranthanhhung]

giúp mình nốt mấy câu nhé! 
1) Cho $x^2+y^2=1$ chứng minh $-\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$

2) Cho $x+2y=2$ chứng minh $x^2+y^2\geq \frac{4}{5}$

3) Có $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ chứng minh $\mid xy\mid \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranthanhhung: 29-01-2014 - 15:26

[Super Fields]

giúp mình nốt mấy câu nhé! 
1) Cho $x^2+y^2=1$ chứng minh $-\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$

2) Cho $x+2y=2$ chứng minh $x^2+y^2\geq \frac{4}{5}$
3) Có $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ chứng minh $\mid xy\mid \leq 3$

Theo Bunyakovsky, ta có:

$1>.$

$(1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (1.x+1.y)^{2}=(x+y)^{2}$

$\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=2\Rightarrow \sqrt{(x+y)^{2}}\leq \sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2}\leq \left | x+y \right |\leq \sqrt{2}$ (đ.p.c.m)

$2>.$

$4=(1.x+2y)^{2}\leq (1^{2}+2^{2})(x^{2}+y^{2})=5(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{5}{4}$(đ.p.c.m)

 

$3>.$

Tương tự..

[Phuong Thu Quoc]

giúp mình nốt mấy câu nhé! 
1) Cho $x^2+y^2=1$ chứng minh $-\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$

2) Cho $x+2y=2$ chứng minh $x^2+y^2\geq \frac{4}{5}$

3) Có $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ chứng minh $\mid xy\mid \leq 3$

3/ $1=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{4.9}}=\frac{\left | xy \right |}{3}$

Từ đo suy ra $\left | xy \right |\leq 3$