5 replies to this topic

[Hoang Tung 126]

  Nhân dịp cuối năm mình gửi tặng mọi người bài toán này(Nhớ làm đêm nay rồi đợi giao thừa luôn nha), chúc tất cả thành viên VMF một năm hạnh phúc .................

  Bài toán :Cho tam giác ABC với $m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là 3 đường trung tuyến của tam giác. $l_{a},l_{b},l_{c}$ lần lượt là 3 đường phân giác của tam giác .Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác .

        CMR :$m_{a}+m_{b}+m_{c}+l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq 2p\sqrt{3}$

[Hoang Tung 126]

Ai có ý tưởng cho bài này 

[ngoctruong236]

Đầu tiên,ta sẽ CM:$l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq p\sqrt{3}$

Edited by ngoctruong236, 02-02-2014 - 14:58.

[Juliel]

Chứng minh $l_a+l_b+l_c\leq p\sqrt{3}$ thì dễ nhưng vô nghĩa vì $m_a+m_b+m_c\geq l_a+l_b+l_c$.

Bài này tư tưởng là bài THTT số gần đây : $m_a+m_b+l_c\leq p\sqrt{3}$ sau đó chứng minh $l_a+l_b+m_c\leq p\sqrt{3}$

[ngoctruong236]

uk đúng rồi@@

[Hoang Tung 126]

-Trước hết ta chứng minh :$l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq p\sqrt{3}$.Gọi a,b,c theo thứ tự là độ dài 3 cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC

Theo công thức đường phân giác và định lý Cos trong tam giác  có:

 $l_{b}=\frac{2ac.cos\frac{B}{2}}{a+c}\leq \frac{2ac.cos\frac{B}{2}}{2\sqrt{ac}}=\sqrt{ac}.cos\frac{B}{2}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1+cosB}{2}}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}}{2}}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{(a+c)^2-b^2}{2ac}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{4}}=\sqrt{\frac{2p.2(p-b)}{4}}=\sqrt{p(p-b)}$ $= > l_{b}\leq \sqrt{p(p-b)}$

Tương tự $l_{c}\leq \sqrt{p(p-c)}$ 

$= > l_{b}+l_{c}\leq \sqrt{p(p-b)}+\sqrt{p(p-c)}$(1)

Theo công thức trung tuyến có:$4m_{a}^2=2(b^2+c^2)-a^2=(b+c)^2-(a^2-(b-c)^2)=(b+c-\sqrt{a^2-(b-c)^2})(b+c+\sqrt{a^2-(b-c)^2})\leq (b+c-\sqrt{a^2-(b-c)^2})(a+b+c)=2p(b+c-\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)})=2p(b+c-2\sqrt{(p-b)(p-c)})=2p(2p-(\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2)= > p(\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2\leq 2p^2-2m_{a}^2= > \sqrt{p(p-b)}+\sqrt{p(p-c)}\leq \sqrt{2p^2-2m_{a}^2}$  (2)

 Từ (1),(2) $= > l_{b}+l_{c}\leq \sqrt{2p^2-2m_{a}^2}= > l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq m_{a}+\sqrt{2}.\sqrt{p^2-m_{a}^2}\leq \sqrt{3(m_{a}^2+p^2-m_{a}^2)}=\sqrt{3p^2}=p\sqrt{3}$(Do áp dụng bđt bunhiacopxki)

 $= > l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq p\sqrt{3}$(3)

-Tiếp theo ta CM :$m_{b}+m_{c}+l_{a}\leq p\sqrt{3}$

Ta có:$m_{b}+m_{c}=\sqrt{\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}}+\sqrt{\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}$