Chủ đề này có 5 trả lời

[Dahitotn94]

Cho các số thực dương $x,y,z$, thoả $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

Tìm GTLN của P$=$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

[vuvanquya1nct]

Ta

 

Cho các số thực dương $x,y,z$, thoả $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

Tìm GTLN của P$=$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Ta co

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z})$

Ma $\frac{1}{y+z}\leq \frac{}{4}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

nen $\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}))$

Con lai tuwong tu

MAx=1/4

[Kaito Kuroba]

áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwartz cho 2 sô:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

 

ta có: $\sum\frac{1}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}\sum\left ( \frac{1}{x+y} \frac{1}{x+z}+\right )\leq \frac{1}{8}\sum \left ( \frac{2}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )\leq \frac{1}{4}$

 

$"="\Leftrightarrow x=y=z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 30-01-2014 - 10:06

[buitudong1998]

Cho các số thực dương $x,y,z$, thoả $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

Tìm GTLN của P$=$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Ta có: $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leqslant \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{4}$

Vậy GTLN của P là$\frac{1}{4}$ khi x=y=z=3

[lahantaithe99]

Cho các số thực dương $x,y,z$, thoả $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

Tìm GTLN của P$=$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Áp dụng bất đẳng thức  S.Vac xơ ta có

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2y+x+z}$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{16}{2z+x+y}$

Cộng theo từng vế có

$\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}=4\geq 16P$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq P$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 30-01-2014 - 10:09

[Dahitotn94]

Cho các số thực dương $x,y,z$, thoả $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

Tìm GTLN của P$=$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Giải

Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số thực dương a, b, c, d:

$a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}$ (1)

và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}$ (2)

Nhân (1) và (2), ta được:

 $(a+b+c+d)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )\geq 16$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\geq \frac{16}{a+b+c+d}$

Theo trên, ta áp dụng BĐT Côsi cho các số thực dương x, y, z

Ta được: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+x+y+z} (1)$

                $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+y+y+z} (2)$

                $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+y+z+z} (3)$

Cộng (1), (2), (3), ta được P$\leq \frac{4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )}{16}$

P$\leq \frac{1}{4}$. Vậy GTLN của P là $\frac{1}{4}$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dahitotn94: 30-01-2014 - 10:25