Chủ đề này có 2 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho $\left\{\begin{matrix} ax+by=3\\ ax^2+by^2=5\\ ax^3+by^3=9\\ ax^4+by^4=17 \end{matrix}\right.$

Tính:

a) $A=ax^5+by^5$

b) $B=ax^{2013}+by^{2013}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 03-02-2014 - 18:50

[angleofdarkness]

Cho $\left\{\begin{matrix} ax+by=3\\ ax^2+by^2=5\\ ax^3+by^3=9\\ ax^4+by^4=17 \end{matrix}\right.$

Tính:

a) $A=ax^5+by^5$

b) $B=ax^{2013}+by^{2013}$

 

Ta có $\left\{\begin{matrix} ax+by=3(1) \\ ax^2+by^2=5(2) \\ ax^3+by^3=9(3) \\ ax^4+by^4=17(4) \end{matrix}\right$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax^2+by^2+axy+bxy=3(x+y) \\ ax^3+by^3+ax^2y+bx^2y=5(x+y) \\ax^4+by^4+ax^3+bxy^3=9(x+y) \\ ax^5+by^5+ax^4y+bxy^4=17(x+y) \end{matrix}\right$

 

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 5+xy(a+b)=3(x+y) \\ 9+xy(ax+by)=5(x+y) \\ 17+xy(ax^2+by^2)=9(x+y) \\ ax^5+by^5+ax^4y+bxy^4=17(x+y) \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5+xy(a+b)=3(x+y) \\ 9+3xy(ax+by)=5(x+y) \\ 17+5xy=9(x+y) \\ ax^5+by^5+ax^4y+bxy^4=17(x+y) \end{matrix}\right$

 

Đặt x + y =S, xy = P thì ta rút ra $\left\{\begin{matrix} 5S-3P=9 \\ 9S-5P=17 \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix}S=3 \\ P=2 \end{matrix}\right$

 

Tức x + y =3; xy = 2 nên x = 2; y = 1 hoặc ngược lại.

 

x, y bình đẳng nên giả sử có x = 2; y = 1.

 

Khi đó thay vào (1) và (2) ta được $\left\{\begin{matrix} 2a+b=3 \\ 4a+b=5 \end{matrix}\right$ giải ra a = b = 1.

 

Từ đó tính ra A và B.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 16-02-2014 - 21:38

[angleofdarkness]

Latex hỏng, đành chụp ảnh vậy:

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 16-02-2014 - 21:51