1 reply to this topic

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Dạo này mọi người ăn tết nên forum vắng quá. Mình góp vui bằng bài toán này:

Cho f là hàm liên tục trên [0,1]. Giả sử tích phân của $\int_0^1f(x)x^ndx=0$ với mọi n=1,2,3,....Chứng minh rằng f(x)=0 trên [0,1]

[funcalys]

Theo định lí xấp xỉ đa thức của Wierstrass, ta có:

$\forall \varepsilon >0, \exists N: \forall n\geq N\Rightarrow \left \| P_n(x)-f \right \|< \varepsilon $

Do mỗi đa thức đều biểu diễn được dưới dạng tổng các đơn thức nên

$\int_{0}^{1}f(x)P_n(x)dx=\sum_{j=0}^{k_n}\int_{0}^{1}f(x)x^jdx=0\to\int_{0}^{1}f^2dx\Rightarrow \int_{0}^{1}f^2dx=0$

Đến đây thì dễ thấy r.