Chủ đề này có 1 trả lời

[trang331]

Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC.Đường phân giác góc ngoài  của góc A cắt đường thẳng BC tại D.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt các đường thẳng AB,AC tại E và F.Gọi N là trung điểm EF.

CMR: MN song song với AD

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 05-02-2014 - 23:53

[Zaraki]

 

Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC.Đường phân giác góc ngoài  của góc A cắt đường thẳng BC tại D.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt các đường thẳng AB,AC tại E và F.Gọi N là trung điểm EF.

CMR: MN song song với AD

 

Lời giải.

$MN \cap AC=L$. Gọi $K$ trung điểm $EC$.

Vì $AF \cap DM=C$ nên $CF \cdot CA= CM \cdot CD \Rightarrow \frac{CA}{CD}= \frac{CM}{CF} \qquad (1)$.

Vì $AD$ là phân giác ngoài $\angle BAC$ nên $\frac{CA}{CD}= \frac{BA}{BD} \qquad (2)$.

Vì $AE \cap DM= B$ nên $BA \cdot BE= BD \cdot BM \Rightarrow \frac{BA}{BD}= \frac{BM}{BE} \qquad (3)$.

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra $\frac{BM}{BE}= \frac{CM}{CF}$ nên $BE=CF$.

 

Ta có $NK$ là đường trung bình $\triangle EFC$ nên $NK= \frac12 CF$ và $NK \parallel CF$.

Tương tự thì $MK= \frac 12 BE$ và $MK \parallel BE$.

Từ đó ta dẫn đến $\angle BAC= \angle NKM$ và $NK=MK$ suy ra $\triangle NKM$ cân tại $K$. Do đó thì $$\angle NMK= \angle MNK= \frac{180^{\circ}- \angle NKM}{2}= \frac{180^{\circ}- \angle BAC}{2}= \angle DAB.$$

Lại có $\angle MNK= \angle NLF$ do $NK \parallel FC$ nên $\angle DAB= \angle NLF$.

Vậy $AD \parallel MN$. $\blacksquare$.