cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giào điểm của AC và BD. Biết đường trìn ( K) ngoại tiếp tam giác IAD.c/m KI vuông góc với BC
tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Bắt đầu bởi pndpnd, 05-02-2014 - 21:07
#2
Đã gửi 06-02-2014 - 00:28
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giào điểm của AC và BD. Biết đường trìn ( K) ngoại tiếp tam giác IAD.c/m KI vuông góc với BC
Lời giải. Kẻ $KP \perp AO \; (P \in AO)$ và $KI \cap BC=M$. Ta có $\angle PKI= \angle ADB= \angle ACB$ nên $\angle AIB= \angle DBC+ \angle ACB= \angle DBC+ \angle PKI$.
Lại có $\angle AIK+ \angle AIB+ \angle BIM=180^{\circ} \Leftrightarrow ( \angle AIK+ \angle PKI)+ \angle DBC+ \angle BIM=180^{\circ} \Leftrightarrow \angle BIM+ \angle IBM=90^{\circ}$.
Vậy $KI \perp BC$. $\blacksquare$
- Yagami Raito và pndpnd thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 06-02-2014 - 21:51
Hoang Thi Thao Hien
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giào điểm của AC và BD. Biết đường trìn ( K) ngoại tiếp tam giác IAD.c/m KI vuông góc với BC
Lời giải. Kẻ $KP \perp AO \; (P \in AO)$ và $KI \cap BC=M$. Ta có $\angle PKI= \angle ADB= \angle ACB$ nên $\angle AIB= \angle DBC+ \angle ACB= \angle DBC+ \angle PKI$.
Lại có $\angle AIK+ \angle AIB+ \angle BIM=180^{\circ} \Leftrightarrow ( \angle AIK+ \angle PKI)+ \angle DBC+ \angle BIM=180^{\circ} \Leftrightarrow \angle BIM+ \angle IBM=90^{\circ}$.
Vậy $KI \perp BC$. $\blacksquare$
Cách 2:
Bổ đề: $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có CF, BE, AH là đường cao thì $OA\perp EF$
Chứng minh: Kẻ $OI \perp AC$, ta có: $\widehat{IOA}=\widehat{B}(=\frac{1}{2}\widehat{AOC})$. $\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{HAB}$
$\Delta HAB$ và $\Delta FCB$ có góc vuông và $\widehat{B}$ chung nên $\widehat{HAB}=\widehat{FCB}$
Do tứ giác FECB đồng dạng nên $\widehat{FCB}= \widehat{FEB}$
$\Rightarrow \widehat{OAC}= \widehat{FEH}$$\Rightarrow OA\perp EF$
Áp dụng: Kẻ $AH\perp BD, DM\perp AC$. Áp dụng bổ đề ta có $KI\perp HM$. Mà do $\widehat{IHM}= \widehat{DBC}(=\widehat{DAC})$(do tứ giác AHMD và tứ giác ABCD nội tiếp) nên $HM\parallel BC$ . Vậy $KI \perp BC$
- Zaraki, Yagami Raito, mrwin99 và 1 người khác yêu thích
Tử Vụ, chàng còn nhớ không, lần đầu chúng ta gặp nhau, trời cũng mưa.
Gặp nhau dưới mưa, tựa như trong ý họa tình thơ.
Bên bờ dương liễu Giang Nam, dưới mái hiên ngói xanh, tầng tầng mưa phùn mông lung.
Lúc đó ta chỉ là một ca cơ không chút danh tiếng, mà chàng là vị Hầu gia quần là áo lượt nhàn tản.
Trong mưa gặp nhau, dây dưa cả đời.
Một đời Tang Ca như mưa bụi mông lung, vui sướng vì gặp được chàng, tan đi cũng vì chàng, bất hối.
~Tang Ca~
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
