Chủ đề này có 7 trả lời

[hmc1108]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x + \sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y + \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$

[Vu Van Quy]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x + \sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y + \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$

Dat 

$\left\{\begin{matrix} a=x-1 & \\ b=y-1 & \end{matrix}\right.$

Thay vao he ta co

$\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{a^2+1}=3^b & \\ b+\sqrt{b^2+1}=3^a & \end{matrix}\right.$

Ve tru ve ta co

$a+\sqrt{a^2+1}+3^a=b+\sqrt{b^2+1}+3^b$

Dung ham so va suy ra duoc $a=b$

OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Van Quy: 07-02-2014 - 20:59

[Kaito Kuroba]

Dat 

$\left\{\begin{matrix} a=x-1 & \\ b=y-1 & \end{matrix}\right.$

Thay vao he ta co

$\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{a^2+1}=3^b & \\ b+\sqrt{b^2+1}=3^a & \end{matrix}\right.$

Ve tru ve ta co

$a+\sqrt{a^2+1}+3^a=b+\sqrt{b^2+1}+3^b$

Dung ham so va suy ra duoc $a=b$

OK

 

 

từ $a=b$ suy ra $x=y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 07-02-2014 - 21:13

[Vu Van Quy]

từ $a=b$ suy ra $x+y=2$

thế vào hệ, bạn có giải tiếp được ko?

a=b

Ta co

$a+\sqrt{a^2+1}=3^a$

Hai ve deu la ham dong bien len toi da 1 nghiem

Nhan thay a=0 la nghiem duy nhat !!

(phai khong nhi)

[bachhammer]

a=b

Ta co

$a+\sqrt{a^2+1}=3^a$

Hai ve deu la ham dong bien len toi da 1 nghiem

Nhan thay a=0 la nghiem duy nhat !!

(phai khong nhi)

 

Hai vế là hàm đồng biến chưa nói lên được đều gì về số nghiệm của chúng cả????

[bachhammer]

Dat 

$\left\{\begin{matrix} a=x-1 & \\ b=y-1 & \end{matrix}\right.$

Thay vao he ta co

$\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{a^2+1}=3^b & \\ b+\sqrt{b^2+1}=3^a & \end{matrix}\right.$

Ve tru ve ta co

$a+\sqrt{a^2+1}+3^a=b+\sqrt{b^2+1}+3^b$

Dung ham so va suy ra duoc $a=b$

OK

 

từ $a=b$ suy ra $x+y=2$, (chỗ này là x = y)

thế vào hệ, bạn có giải tiếp được ko?

 

Sau khi có được a = b ta thấy vào hệ và việc còn lại là ta chỉ cần giải pt: $a+\sqrt{a^{2}+1}=3^{a}$. pt này tường đương với: $a-log_{3}(a+\sqrt{a^{2}+1})=0$.

Xét hàm số trên tập số thực: $f(x)=x-log_{3}(x+\sqrt{x^{2}+1}),f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}ln3}>0.$ Do đó hàm f(x) đồng biến trên R, suy ra pt f(x) = 0 có tối đa là một nghiệm.

Nhận thấy f(0) = 0 nên ta suy ra a = b = 0. Vậy là xong       

[Vu Van Quy]

Sau khi có được a = b ta thấy vào hệ và việc còn lại là ta chỉ cần giải pt: $a+\sqrt{a^{2}+1}=3^{a}$. pt này tường đương với: $a-log_{3}(a+\sqrt{a^{2}+1})=0$.

Xét hàm số trên tập số thực: $f(x)=x-log_{3}(x+\sqrt{x^{2}+1}),f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}ln3}>0.$ Do đó hàm f(x) đồng biến trên R, suy ra pt f(x) = 0 có tối đa là một nghiệm.

Nhận thấy f(0) = 0 nên ta suy ra a = b = 0. Vậy là xong       

Tai sao lai >0

[bachhammer]

Tai sao lai >0

Do ln3 > 1 và $\sqrt{x^{2}+1}\geq 1$ nên phân thức $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}ln3}$ nhỏ hơn 1. Suy ra >0