Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{1+u_{n}^{2}}-1}{u_{n}}& \\ \end{matrix}\right.$
$n\geq 1$
Tìm công thức tổng quát của dãy $(u_{n})$
#2
Đã gửi 14-02-2014 - 21:26
thuan192
-
- Thành viên
-
- 325 Bài viết
Sĩ quan
Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{1+u_{n}^{2}}-1}{u_{n}}& \\ \end{matrix}\right.$
$n\geq 1$
Tìm công thức tổng quát của dãy $(u_{n})$
Ta có: $u_{1}=1=tan\frac{\Pi }{4}$
Suy ra $u_{2}=\frac{\sqrt{1+tan^{2}\frac{\Pi }{4}}-1}{tan\frac{\Pi }{4}}$$u_{2}=\frac{\sqrt{1+tan^{2}\frac{\Pi }{4}}-1}{tan\frac{\Pi }{4}}$$=tan\frac{\Pi }{2.4}$
Bằng quy nạp chúng ta chững minh được $u_{n}=tan\frac{\Pi }{2^{n-1}.4}$
Bài này thay vì tìm số hạng tổng quát có thể viết lại thành
Chứng minh: $S=u_{1}+u_{2}+...+u_{3}\geq 1+\frac{\Pi }{4}\left [ 1-\frac{1}{2^{n-1}} \right ]$
(Đây cũng chính là đề thi HSG Quảng Bình 2008-2009)
Thuận
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
