Chủ đề này có 1 trả lời

[Forgive Yourself]

$\Delta ABC$ có $AB=c,BC=a,CA=b$ và các trung tuyến tương ứng $m_a,m_b,m_c$. Tìm $Min$ của $P=\frac{a^3}{m_a^3}+\frac{b^3}{m_b^3}+\frac{c^3}{m_c^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 17-02-2014 - 21:09

[Hoang Tung 126]

$\Delta ABC$ có $AB=c,BC=a,CA=b$ và các trung tuyến tương ứng $m_a,m_b,m_c$. Tìm $Min$ của $P=\frac{a^3}{m_a^3}+\frac{b^3}{m_b^3}+\frac{c^3}{m_c^3}$

Theo BDT $x^3+y^3+z^3\geq \frac{(x+y+z)^3}{9}$ và công thức đường trung tuyến ta có:

 $P=\frac{a^3}{m_{a}^3}+\frac{b^3}{m_{b}^3}+\frac{c^3}{m_{c}^3}\geq \frac{(\frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}})^3}{9}$(1)

Mà $\frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}}=\frac{a}{\sqrt{\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}}}+\frac{b}{\sqrt{\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}}}+\frac{c}{\sqrt{\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}}=2(\sum \sqrt{\frac{a^2}{2(b^2+c^2)-a^2}})=2(\sum \frac{\sqrt{3}.a^2}{(2(b^2+c^2)-a^2).3a^2})\geq 2.\sum \frac{a^2\sqrt{3}}{\frac{2(b^2+c^2)-a^2+3a^2}{2}}=4.\sum \frac{a^2\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}=4\sqrt{3}.\frac{\sum a^2}{\sum a^2}=4\sqrt{3}$(2)

Từ (1),(2)$= > P\geq \frac{(4\sqrt{3})^3}{9}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều