3 replies to this topic

[Mrnhan]

Tính tích phân $$\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x(1+x^2)}dx=\frac{1}{2}\pi\ln2$$

[hoainamcx]

BTV xem hộ mình với:
$t=acrtanx, x= tant, \frac{dx}{1+x^{2}}= dt$

Đổi cận: x: 0 -> +oo

              t: 0 -> -oo

TP trở thành: 
$\int_{0}^{-oo}\frac{t}{tant}dt$

$\left\{\begin{matrix} u=t & \\ dv=\frac{1}{tant}dt & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} du=dt & \\ dv=\frac{-1}{sin^{2}t} & \end{matrix}\right.$

$=$$\frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} + \int_{0}^{-oo} \frac{1}{sin^{2}t}dt = \frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} -cot\binom{-oo}{0}= -oo$

Edited by hoainamcx, 13-03-2014 - 21:58.

[Mrnhan]

BTV xem hộ mình với:
$t=acrtanx, x= tant, \frac{dx}{1+x^{2}}= dt$

Đổi cận: x: 0 -> +oo

              t: 0 -> -oo

TP trở thành: 
$\int_{0}^{-oo}\frac{t}{tant}dt$

$\left\{\begin{matrix} u=t & \\ dv=\frac{1}{tant}dt & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} du=dt & \\ dv=\frac{-1}{sin^{2}t} & \end{matrix}\right.$

$=$$\frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} + \int_{0}^{-oo} \frac{1}{sin^{2}t}dt = \frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} -cot\binom{-oo}{0}= -oo$

 

Bạn nên học gõ Latex và đổi cận sai

Đặt $t=\arctan x\to dt= \frac{dx}{1+x^2}$ và $x=\tan t$

 

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x\to +\infty,\: t\to \frac{\pi}{2}\\x=0,\: t=0 \end{matrix}\right.$

 

Tích phân đã cho trở thành: 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{t}{\tan t}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}td\left ( \ln\sin t \right )=\left [ t\ln\sin t \right ]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt$

 

Tích phân $I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=\frac{\pi}{2}\ln2$

 

Chứng minh ở đây.

[hoainamcx]

Bạn nên học gõ Latex và đổi cận sai

Đặt $t=\arctan x\to dt= \frac{dx}{1+x^2}$ và $x=\tan t$

 

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x\to +\infty,\: t\to \frac{\pi}{2}\\x=0,\: t=0 \end{matrix}\right.$

 

Tích phân đã cho trở thành: 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{t}{\tan t}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}td\left ( \ln\sin t \right )=\left [ t\ln\sin t \right ]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt$

 

Tích phân $I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=\frac{\pi}{2}\ln2$

 

Chứng minh ở đây.

 

Bạn nên học gõ Latex và đổi cận sai

Đặt $t=\arctan x\to dt= \frac{dx}{1+x^2}$ và $x=\tan t$

 

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x\to +\infty,\: t\to \frac{\pi}{2}\\x=0,\: t=0 \end{matrix}\right.$

 

Tích phân đã cho trở thành: 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{t}{\tan t}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}td\left ( \ln\sin t \right )=\left [ t\ln\sin t \right ]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt$

 

Tích phân $I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=\frac{\pi}{2}\ln2$

 

Chứng minh ở đây.

Ừ hì cám ơn bạn nhiều @@