Tính tích phân $$\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x(1+x^2)}dx=\frac{1}{2}\pi\ln2$$
$\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x(1+x^2)}dx$
#1
Đã gửi 18-02-2014 - 10:05
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#2
Đã gửi 13-03-2014 - 21:48
BTV xem hộ mình với:
$t=acrtanx, x= tant, \frac{dx}{1+x^{2}}= dt$
Đổi cận: x: 0 -> +oo
t: 0 -> -oo
TP trở thành:
$\int_{0}^{-oo}\frac{t}{tant}dt$
$\left\{\begin{matrix} u=t & \\ dv=\frac{1}{tant}dt & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} du=dt & \\ dv=\frac{-1}{sin^{2}t} & \end{matrix}\right.$
$=$$\frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} + \int_{0}^{-oo} \frac{1}{sin^{2}t}dt = \frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} -cot\binom{-oo}{0}= -oo$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoainamcx: 13-03-2014 - 21:58
#3
Đã gửi 14-03-2014 - 09:27
BTV xem hộ mình với:
$t=acrtanx, x= tant, \frac{dx}{1+x^{2}}= dt$Đổi cận: x: 0 -> +oo
t: 0 -> -oo
TP trở thành:
$\int_{0}^{-oo}\frac{t}{tant}dt$$\left\{\begin{matrix} u=t & \\ dv=\frac{1}{tant}dt & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} du=dt & \\ dv=\frac{-1}{sin^{2}t} & \end{matrix}\right.$
$=$$\frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} + \int_{0}^{-oo} \frac{1}{sin^{2}t}dt = \frac{-t}{sin^{2}t}\binom{-oo}{0} -cot\binom{-oo}{0}= -oo$
Bạn nên học gõ Latex và đổi cận sai
Đặt $t=\arctan x\to dt= \frac{dx}{1+x^2}$ và $x=\tan t$
Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x\to +\infty,\: t\to \frac{\pi}{2}\\x=0,\: t=0 \end{matrix}\right.$
Tích phân đã cho trở thành:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{t}{\tan t}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}td\left ( \ln\sin t \right )=\left [ t\ln\sin t \right ]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt$
Tích phân $I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=\frac{\pi}{2}\ln2$
Chứng minh ở đây.
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#4
Đã gửi 16-03-2014 - 00:23
Bạn nên học gõ Latex và đổi cận sai
Đặt $t=\arctan x\to dt= \frac{dx}{1+x^2}$ và $x=\tan t$
Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x\to +\infty,\: t\to \frac{\pi}{2}\\x=0,\: t=0 \end{matrix}\right.$
Tích phân đã cho trở thành:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{t}{\tan t}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}td\left ( \ln\sin t \right )=\left [ t\ln\sin t \right ]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt$
Tích phân $I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=\frac{\pi}{2}\ln2$
Chứng minh ở đây.
Bạn nên học gõ Latex và đổi cận sai
Đặt $t=\arctan x\to dt= \frac{dx}{1+x^2}$ và $x=\tan t$
Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x\to +\infty,\: t\to \frac{\pi}{2}\\x=0,\: t=0 \end{matrix}\right.$
Tích phân đã cho trở thành:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{t}{\tan t}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}td\left ( \ln\sin t \right )=\left [ t\ln\sin t \right ]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt$
Tích phân $I=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin tdt=\frac{\pi}{2}\ln2$
Chứng minh ở đây.
Ừ hì cám ơn bạn nhiều @@
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh