Chủ đề này có 5 trả lời

[nangcongchua]

1, Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a + b + c =6. Chứng minh rằng :

$\frac{b + c +5}{1 + a} +\frac{c + a + 4}{2 + b} + \frac{a + b + 3}{3 + c}\geq 6$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

2, Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng : 

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} + \sqrt{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

3, Cho x,y là hai số dương thỏa mãn x + y =8. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x + 1}+\frac{3y}{y +3}\leq \frac{8}{3}$

[hoctrocuanewton]

1, Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a + b + c =6. Chứng minh rằng :

$\frac{b + c +5}{1 + a} +\frac{c + a + 4}{2 + b} + \frac{a + b + 3}{3 + c}\geq 6$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

 

$(1+\frac{b+c+5}{a+1})+(1+\frac{a+c+4}{b+2})+(1+\frac{a+b+3}{c+3})= (a+b+c+6)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3})\geqslant (a+b+c+6).\frac{9}{a+b+c+6}=9$

 

$\Rightarrow \frac{b+c+5}{a+1}+\frac{a+c+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}\geq 6$

 

dấu bằng xảy khi $\frac{1}{a+1}=\frac{1}{b+2}=\frac{1}{c+3}$

dựa vào đk bài toán ta giải ra a=3 , b=2 ,c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 24-02-2014 - 21:17

[hoctrocuanewton]

 

2, Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng : 

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} + \sqrt{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

 

áp dụng bđt miacôpski ta có

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}}\geqslant \sqrt{(a+b)^{2}+\frac{16}{(a+b)^{2}}}\geq \sqrt{2.\sqrt{(a+b).\frac{16}{(a+b)}}}=2\sqrt{2}$

dấu bằng xảy ra khi a=b=1

[nangcongchua]

áp dụng bđt miacôpski ta có

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}}\geqslant \sqrt{(a+b)^{2}+\frac{16}{(a+b)^{2}}}\geq \sqrt{2.\sqrt{(a+b).\frac{16}{(a+b)}}}=2\sqrt{2}$

dấu bằng xảy ra khi a=b=1

miacôpsky là gì ạ? cho em định nghĩa và đường link về bất đẳng thức này nhé!!!

[hoctrocuanewton]

miacôpsky là gì ạ? cho em định nghĩa và đường link về bất đẳng thức này nhé!!!

bạn có thể tham khảo tại đây 

[hoctrocuanewton]

 

3, Cho x,y là hai số dương thỏa mãn x + y =8. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x + 1}+\frac{3y}{y +3}\leq \frac{8}{3}$

áp dụng bđt schwars ta có

$\frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}= x-\frac{x^{2}}{x+1}+y-\frac{y^{2}}{3+y}\leqslant (x+y)-\frac{(x+y)^{2}}{4+x+y}=\frac{8}{3}$