Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $x_1 \in $ (1, 2) và $x_{n+1} = 1 + x_n –\frac{ x_n^2}{2}$.
a, CMR $|x_n- \sqrt{2}|< (\frac{1}{2}) ^n$ với mọi n >2
b,tìm lim $x_n$
Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $x_1 \in $ (1, 2) và $x_{n+1} = 1 + x_n –\frac{ x_n^2}{2}$.
Bắt đầu bởi Kaitou Kid 1412, 26-02-2014 - 21:18
#2
Đã gửi 15-03-2014 - 21:00
nhjm nhung
-
- Thành viên
-
- 61 Bài viết
Hạ sĩ
Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $x_1 \in $ (1, 2) và $x_{n+1} = 1 + x_n –\frac{ x_n^2}{2}$.a, CMR $|x_n- \sqrt{2}|< (\frac{1}{2}) ^n$ với mọi n >2b,tìm lim $x_n$
Chứng minh được $x_n>0$
Giả sử $(x_n)$ có giới hạn. Gọi $lim x_n=L$
chuyển sang giới hạn, ta có: $1+L-\frac{L^2}{2}=L$$\Rightarrow L=\sqrt{2}$
$|x_{n+1}-L|=|1+x_n-\frac{x_n^2}{2}-1-L+\frac{L^2}{2}|$
$=|(x_n-L)(1-\frac{x_n+L}{2})|=|(x_n-L)\frac{2-x_n-L}{2}|<|x_n-L|.\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow |x_{n+1}-L|<(\frac{2-\sqrt{2}}{2}) ^n.|u_1-L|< (\frac{2-\sqrt{2}}{2}) ^n|2-\sqrt{2}|<\frac{\frac{1}{2}}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n+1}}$ (đpcm)
=> $lim x_n =\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhjm nhung: 15-03-2014 - 21:11
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
