Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$
Đề của
nk0kckungtjnh
MSS 10
Mở rộng 1: Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y+z)^{3}+3(xy+yz+zx)\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P=9(x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})-3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2$$
Lời giải
Ta có $2\leq (x+y+z)^2+3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^3+(x+y+z)^2$
Nên $(x+y+z)^3+(x+y+z)^2-2\geq 0 \Leftrightarrow (x+y+z-1)\left [(x+y+z)^2+2(x+y+z)+2 \right ]\geq 0$
Mà $(x+y+z)^2+2(x+y+z)+2>0$ nên $x+y+z-1\geq 0 \Leftrightarrow x+y+z\geq 1$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2$ nên $x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{1}{3}.$
Ta có:
$P=9(x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})-3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2$
$\Leftrightarrow P=9(x^2+y^2+z^2)^2-9(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-3(x^2+y^2+z^2)+2$
Mà $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq \dfrac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^2$
Nên $P\geq 6(x^2+y^2+z^2)^2-3(x^2+y^2+z^2)+2=6\left [ (x^2+y^2+z^2)-\dfrac{1}{4} \right ]^2+\dfrac{13}{8}$
Vì $x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{1}{3}$ nên $P\geq 6\left ( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} \right )^2+\dfrac{13}{8}=\dfrac{5}{3}$
Vậy $\textrm{min}\ P=\dfrac{5}{3}$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}.$
$$\star \star \star \star \star \star \star \star \star \star$$
Mở rộng 2: Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với $n$ $(n\in \mathbb{N}^*)$
$$P=4\left ( x^{2^{n+1}}+y^{2^{n+1}}+x^{2^n}y^{2^n} \right )-\dfrac{6}{2^{2^n}}\left ( x^{2^n}+y^{2^n} \right )$$
Lời giải
Bổ đề Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x+y\geq 1$ thì $x^{2^n}+y^{2^n}\geq \dfrac{1}{2^{2^{n}-1}}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^*$ $\left ( \star \right )$
Chứng minh
Với $n=1,$ ta có: $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}\geq \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{2^{1}-1}}$
Giả sử $\left ( \star \right )$ đúng với $n=k$
Khi đó $x^{2^k}+y^{2^k}\geq \dfrac{1}{2^{2^{k}-1}}$
Ta chứng minh với $n=k+1$ thì
$x^{2^{k+1}}+y^{2^{k+1}}\geq \dfrac{1}{2^{2^{k+1}-1}}$
Thật vậy, ta có
$x^{2^{k+1}}+y^{2^{k+1}}=\left ( x^{2^k} \right )^2+\left ( y^{2^k} \right )^2\geq \dfrac{1}{2}\left ( x^{2^k}+y^{2^k} \right )^2\geq \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2^{2^{k}-1}} \right )^2$
Mà $2\left (2^{2^{k}-1} \right )^2=2^{2^{k+1}-1}$ nên $x^{2^{k+1}}+y^{2^{k+1}}\geq \dfrac{1}{2^{2^{k+1}-1}}$
Vậy theo nguyên lý quy nạp, bổ đề được chứng minh.
Quay lại bài toán, từ lời giải bài toán gốc, ta được $x+y\geq 1$
Do đó $x^{2^n}+y^{2^n}\geq \dfrac{1}{2^{2^{n}-1}}$
Tương tự bài toán gốc, ta chứng minh được
$P\geq 3\left ( x^{2^n}+y^{2^n} \right )^2-\dfrac{6}{2^{2^n}}\left ( x^{2^n}+y^{2^n} \right )$
$\Leftrightarrow P\geq 3\left ( x^{2^n}+y^{2^n}-\dfrac{1}{2^{2^n}} \right )^2-\dfrac{3}{2^{2^{n+1}}}$
Mà $x^{2^n}+y^{2^n}\geq \dfrac{1}{2^{2^{n}-1}}$
Nên $P\geq 3\left ( \dfrac{1}{2^{2^{n}-1}}-\dfrac{1}{2^{2^n}} \right )^2-\dfrac{3}{2^{2^{n+1}}}=0$
Vậy $\textrm{min}\ P=0$ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$
$$\star \star \star \star \star \star \star \star \star \star$$
Mở rộng 3: Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+3xy(x+y+2)=x^2+y^2+2 \\ 3(x^4+y^4+x^2y^2)−2(x^2+y^2)+\dfrac{7}{16}=0 \end{matrix}\right.$$
Lời giải
Từ phương trình ban đầu, ta có:
$(x+y)^3+4xy=2+(x-y)^2\geq 2$
Do đó $3(x^4+y^4+x^2y^2)−2(x^2+y^2)+1\geq \dfrac{9}{16}$ hay $3(x^4+y^4+x^2y^2)−2(x^2+y^2)+\dfrac{7}{16}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}$
Do đó hệ phương trình có nghiệm $x=y=\dfrac{1}{2}.$
Có 4 nhận xét cho 3 bài mở rộng.
1) Anh ủng hộ em tìm tòi ra nhiều hướng như thế , nhưng .... ( đọc 2,3,4 )
2) MR 1 thì em không nên mở rộng bằng cách tạo ra thêm 1 ẩn ( nếu $n$ ẩn thì ok ) . Hãy tôn trọng ý tưởng người ra đề .
3 ) MR2 thì sai hoàn toàn . Định nghĩa hàm mũ là cơ số phải dương khác 1 .
4 ) Như 2 , em nên tông trọng dạng bài của tác giả
Điểm MR 0đ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:11