76 replies to this topic

[4869msnssk]

ta có: $4xy\leq(x+y)^2 \leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0 \leftrightarrow  x=y$

từ đó suy ra $2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2$

từ đó tương đương với $(x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq 0$

mà $((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq0$ với mọi x,y nên suy ra $x+y-1\geq 0 \leftrightarrow x+y\geq 1$ (1)

lại có $A=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1=2((x^2+y^2)^2+\frac{1}{4})+\frac{1}{2}-3x^2y^2-2(x^2+y^2)$ ???

hay $ A\geq 2(x^2+y^2)-2(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2-3(\frac{x^2+y^2}{2})^2+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.(x^2+y^2)^2+\frac{1}{2}$

mà $x^2+y^2\geq 2xy \leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\geq 1^2=1$

từ đó suy ra $ A\geq 0+ \frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$

vậy $min A=\frac{9}{16}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Phần màu đỏ không rõ ràng .

 

Không chấm.

em có thử lại đoạn màu đỏ này  vẫn dịch bình thường trên latex mà sao ko dịch đc trên này nhỉ, mong BTC xem lại hộ

Attached Files

•  CodeCogsEqn.gif   2.9KB   0 downloads

[Viet Hoang 99]

Theo BĐT Bunhiacopxki và AM-GM có:$x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)},4xy\leq 2(x^2+y^2)$ (Sai)

$= > 2\leq (x+y)^3+4xy\leq (\sqrt{2(x^2+y^2)})^3+2(x^2+y^2)$

Đặt $\sqrt{2(x^2+y^2)}=a\geq 0= > 2\leq a^2+a^3= > a^2(a-1)+2(a-1)(a+1)\geq 0= > (a-1)(a^2+2a+2)\geq 0= > a-1\geq 0= > a\geq 1= > \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq 1= > x^2+y^2\geq \frac{1}{2}$

(Do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1> 0$)

Ta có:$x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2)^2-x^2y^2\geq (x^2+y^2)^2-\frac{(x^2+y^2)^2}{4}=\frac{3(x^2+y^2)^2}{4}= > P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1= > 4P\geq 9(x^2+y^2)^2-8(x^2+y^2)+4=9(x^2+y^2)(x^2+y^2-\frac{1}{2})-\frac{7}{2}(x^2+y^2-\frac{1}{2})+\frac{9}{4}=(x^2+y^2-\frac{1}{2})(9(x^2+y^2)-\frac{7}{2})+\frac{9}{4}\geq \frac{9}{4}= > 4P\geq \frac{9}{4}= > P\geq \frac{9}{16}$

(Do $x^2+y^2\geq \frac{1}{2}= > x^2+y^2-\frac{1}{2}\geq 0,9(x^2+y^2)-\frac{7}{2}\geq 9.\frac{1}{2}-\frac{7}{2}=1> 0= > (x^2+y^2-\frac{1}{2})(9(x^2+y^2)-\frac{7}{2})\geq 0$)

 Do đó $P$ Min =$=\frac{9}{16}< = > x=y,x^2+y^2=1,(x+y)^3+4xy=2< = > x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 9.

$1/$ Anh Hoang Tung 126 không tham gia MSS, vì vậy không cần chấm điểm

$2/$ Anh namcpnh chấm $d$ mà không chấm $S$ ạ

$3/$ Chưa chấm ai bị loại à anh.

 

Anh Hoang Tung 126 chấm lại $S$ đi.

[Rias Gremory]

Bài làm của MSS$42$ 

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có : $\blacksquare$ $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}(x+y)^{2}$

$\blacksquare$ $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}(x+y)^{2}$

Theo giả thiết ta có : 

$(x+y)^{3}+4xy\geq 2\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$ ( vì $(x+y)^{2}\geq 4xy$ ) ( $=>$ là sai ).

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

Vì $(x+y)^{2}+2(x+y)+2=(x+y+1)^{2}+1> 0$

$\Rightarrow x+y-1\geq 0\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Ta có : 

$P=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{1}{4}[(x^{2}+y^{2})^{2}]-(x^{2}-y^{2})^{2}]]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=\frac{9}{4}[x^{2}+y^{2}-\frac{4}{9}]^{2}+\frac{3}{4}(x^{2}-y^{2})^{2}+\frac{5}{9}$

Vì $1\leq (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Lại có $(x^{2}-y^{2})^{2}\geq 0$ với mọi $x,y\in R$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}(\frac{1}{2}-\frac{4}{9})^{2}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{16}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm : 9đ

Vì sao chỗ đỏ của em đó là sai vậy TRỌNG TÀI

[Viet Hoang 99]

Vì sao chỗ đỏ của em đó là sai vậy TRỌNG TÀI

Trọng tài chấm sai rồi kìa (Vẫn 9 điểm à)
$(x+y)^3+(x+y)^2-2\geq (x+y)^3+4xy-2\geq 0$

[namcpnh]

em có thử lại đoạn màu đỏ này  vẫn dịch bình thường trên latex mà sao ko dịch đc trên này nhỉ, mong BTC xem lại hộ

 

Em đã nhầm giữa số 2 và số 3, em xem lại đi . Tuy nhiên bài này anh vẫn sẽ chấm cho em.

 

 Một số bài khác có sai cả phần sử dụng BĐT AM - GM nhưng chỉ bị trừ 1 điểm thôi, bài của em chỉ đánh sai dấu - thành dấu . (lỗi đánh máy) mà trừ mất 2 điểm. Bài làm của em sao bị trừ nặng thế ạ?

 

Ang trừ em 2 lỗi nhé : 

1) Sử dụng sai định lý (1đ) 

2) Gõ $Latex$ sai (1đ ) 

 

 

$1/$ Anh Hoang Tung 126 không tham gia MSS, vì vậy không cần chấm điểm

$2/$ Anh namcpnh chấm $d$ mà không chấm $S$ ạ

$3/$ Chưa chấm ai bị loại à anh.

 

Anh Hoang Tung 126 chấm lại $S$ đi.

 

Vậy anh sẽ xóa điểm bài này .

 

 

Vì sao chỗ đỏ của em đó là sai vậy TRỌNG TÀI

 

Thật ra không sai nhưng anh muốn em trình bày khoa học hơn . Bài này a sẽ chấm tối đa điểm.

[namcpnh]

Bài này đã chấm xong, nhờ ai đó tổng kết điểm và lên bảng điểm dùm . Ai có ý kiến gì cứ đăng trong topic này.

[Viet Hoang 99]

Bài này đã chấm xong, nhờ ai đó tổng kết điểm và lên bảng điểm dùm . Ai có ý kiến gì cứ đăng trong topic này.

Cày đem à anh @@ Tý xem WC luôn ^^

Em không hiểu anh chấm bài thế nào, anh chấm mỗi thang điểm 10, trong khi MSS 1;2;... các BTC khác chấm theo thang 10 và một thang khác (d và S)

 

Do trận 3 chưa tổng điểm nên em chỉ giúp anh được phần kết quả trận 4 chứ không làm bảng hoàn chỉnh được!

 MSS04.xls   28KB   1 downloads

 MSS04.png   29.4KB   0 downloads

 

Trong quá trình tổng điểm, em thấy bài giải của Trang Luong nhưng là giải thay Phạm Anh Quân (trong bài giải có ghi là "nick trên diễn đàn: Phạm Anh Quân")

Nhưng hình như trong list thí sinh không có bạn này hoặc bạn ấy đổi tên ???

Bài ấy được 8đ

[namcpnh]

Anh lâu lắm không lên nên cũng không chú ý . Anh chỉ được phân công chấm chứ không có biết các khoản còn lại. Em cứ đăng lên thế đi , để thầy Thế vào xem lại .

[buiminhhieu]

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:Bùi Minh Hiếu

Bài làm:

Ta có với mọi số thực x,y thì $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy$

Do đó từ giả thiết ta được $2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2)\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Lại có $(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Rightarrow$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}$

$\geq (\frac{1}{2}-1)^{2}+(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}y^{2}$(Do $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$(Theo BĐT cauchy-schawrz)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$((x^{2}+y^{2})^{2}+(\left |xy \right |)^{2})(4+1)\geq (2(x^{2}+y^{2})+\left | xy \right |)^{2}\geq (2(x^{2}+y^{2})+xy)$

$=(\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{3(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}\geq (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{16}$

$\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}\geq \frac{5}{16}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}$

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ Tại $x=y=\frac{1}{2}$

 

Màu đỏ sai .

 

Điểm 3đ

Sai chỗ nào anh chỉ hộ em với

[Viet Hoang 99]

Sai chỗ nào anh chỉ hộ em với

$x^2+y^2-1\geq -\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)\geq \frac{1}{4}$     

Sai nè!

[angleofdarkness]

Ang trừ em 2 lỗi nhé : 

1) Sử dụng sai định lý (1đ) 

2) Gõ $Latex$ sai (1đ ) 

 

 

 

Anh ơi latex em có sai đâu? Anh tô màu đỏ 1 đoạn trong công thức dãy latex em viết nên cả đoạn biến đổi đấy không hiển thị được chứ không phải em gõ sai mà

[namcpnh]

Rồi ok, lỗi của anh, anh sẽ sửa điểm cho em . Em nhắn tin cho thầy E.Galois sửa điểm cho em .

Edited by namcpnh, 15-07-2014 - 18:31.

[buiminhhieu]

$x^2+y^2-1\geq -\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)\geq \frac{1}{4}$     

Sai nè!

Uh sai đâu???

viết ở dưới mà??

[Viet Hoang 99]

Uh sai đâu???

viết ở dưới mà??

Chưa xác định âm dương sao mà bình phương

Giả sử $x^2+y^2-1=\frac{-1}{4}$ bình phương lên xem có $\geq \frac{1}{4}$ không?

[toanhoc2017]

Nhiều cách giải rất hay ,cảm ơn anh em nhé

[Finnd]

Ta có: ab= 1/4[ (a+b)^2 -(a-b)^2] =< 1/4(a+b)^2 và a^2+b^2= 1/2[ (a+b)^2 +(a-b)^2] >= 1/2(a+b)^2

 

Lại có (a+b)^3 +4ab >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + [(a+b)^2 -(a-b)^2] >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + (a+b)^2 -2 >= (a-b)^2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 - (a+b)^2 +2(a+b)^2 -2(a+b) +2(a+b) -2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1)[ (a+b)^2 +2(a+b) +2] >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1) >=0 $\Leftrightarrow$ a+b >=1

 

Khi đó A= 3 { (a^2+b^2)^2 - 1/4[ (a^2+b^2)^2 -(a^2-b^2)^2]} -2(a^2+b^2) +1

             = 9/4(a^2+b^2 -4/9)^2 +3/4(a^2-b^2) +5/9

Do 1 =< (a+b)^2 =< 2(a^2+b^2) $\Rightarrow$ a^2+b^2 >= 1/2 , (a^2-b^2) >=0 .

  Vậy A >= 9/4[1/2-4/9]^2 +3/2*0^2 +5/9 = 9/16 $\Rightarrow$ min A =9/16 $\Leftrightarrow$ a=b=1/2

[Finnd]

Ta có: ab= 1/4[ (a+b)^2 -(a-b)^2] =< 1/4(a+b)^2 và a^2+b^2= 1/2[ (a+b)^2 +(a-b)^2] >= 1/2(a+b)^2

 

Lại có (a+b)^3 +4ab >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + [(a+b)^2 -(a-b)^2] >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + (a+b)^2 -2 >= (a-b)^2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 - (a+b)^2 +2(a+b)^2 -2(a+b) +2(a+b) -2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1)[ (a+b)^2 +2(a+b) +2] >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1) >=0 $\Leftrightarrow$ a+b >=1

 

Khi đó A= 3 { (a^2+b^2)^2 - 1/4[ (a^2+b^2)^2 -(a^2-b^2)^2]} -2(a^2+b^2) +1

             = 9/4(a^2+b^2 -4/9)^2 +3/4(a^2-b^2) +5/9

Do 1 =< (a+b)^2 =< 2(a^2+b^2) $\Rightarrow$ a^2+b^2 >= 1/2 , (a^2-b^2) >=0 .

  Vậy A >= 9/4[1/2-4/9]^2 +3/2*0^2 +5/9 = 9/16 $\Rightarrow$ min A =9/16 $\Leftrightarrow$ a=b=1/2

New hope, new life.