Chủ đề này có 8 trả lời

[Juliel]

Câu 1 : Giải phương trình $$3\left ( \sqrt{2x^2+1}-1 \right )=x\left ( 1+3x+8\sqrt{2x^2+1} \right )$$

 

Câu 2 : Với mọi số nguyên dương $n$, hãy xác định theo $n$ số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $$x^2-y^2=100.30^{2n}$$. Đồng thời chứng minh số cặp này không thể là số chính phương.

 

Câu 3 : Cho $(O,R)$ và hai điểm $P,Q$ cố định. $P$ nằm ngoài và $Q$ nằm trong $(O)$. Dây cung $AB$ di động qua $Q$ của $(O)$. $PA,PB$ cắt $(O)$ lần lượt tại $C,D$. Chứng minh $CD$ luôn đi qua một điểm cố định

 

Câu 4 : Cho $a,b,x,y>0$ và thỏa $a+b=1,ax+by=2,ax^2+by^2=3$. Chứng minh :

$$4<ax^3+by^3<4,5$$

 

Câu 5 : Cho tập $X$ gồm $n$ phần tử. Hỏi có bao nhiêu bộ thứ tự $(A,B,C)$ với $A,B,C$ là các tập con của $X$ sao cho $$X=A\cup B\cup C$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-02-2014 - 19:07

[Tran Nho Duc]

Câu 1 : Giải phương trình $$3\left ( \sqrt{2x^2+1}-1 \right )=x\left ( 1+3x+8\sqrt{2x^2+1} \right )$$

 

 

[LNH]

Câu 5 : Cho tập $X$ gồm $n$ phần tử. Hỏi có bao nhiêu bộ thứ tự $(A,B,C)$ với $A,B,C$ là các tập con của $X$ sao cho $$X=A\cup B\cup C$$

Xét một phần tử $k$ bất kì thuộc $S$:

Có $2^3-1=7$ cách chọn để tồn tại ít nhất một trong các tập $A,B,C$

Vậy có $7^n$ cách chọn 3 tập $A,B,C$ thỏa mãn ycđb

===============================================

Nếu bài này cho tìm số tập $A,B,C$ không tính thứ tự thì hơi căng

P/s: bài viết thứ 500

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 28-02-2014 - 19:58

[Tran Nho Duc]

$PT\Leftrightarrow (8x-3)\sqrt{2x^{2}+1}+3x^{2}+x+3=0$

Đặt $t=\sqrt{2x^{2}+1} (t\geq 1)$

$\Leftrightarrow 3t^{2}+(8x-3)t-3x^{2}+x=0$

$\Delta =(8x-3)^{2}-4.3(-3x^{2}+x)=(10x-3)^{2}$

$\Rightarrow t_{1}=\frac{x}{3} , t_{2}=1-3x$

TH1 :

$t=\frac{x}{3}\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+1}=\frac{x}{3}\Rightarrow PTVN$

TH2:

$t=1-3x\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+1}=1-3x\Rightarrow x=0 , x=\frac{6}{7}$

[Juliel]

Câu 4 đề sai lè.

[davidsilva98]

Câu 1 : Giải phương trình $$3\left ( \sqrt{2x^2+1}-1 \right )=x\left ( 1+3x+8\sqrt{2x^2+1} \right )$$

 

Đặt $\sqrt{2x^{2}+1}=y(y>0)$

Dẫn đến hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+1=y^{2}\\ 3(y-1)=x(1+3x+8y) \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y^{2}-2x^{2}=1\\ 3x^{2}+8xy+3=3y-x \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y^{2}-2x^{2}=1(1)\\ -3x^{2}+8xy+3y^{2}=3y-x (2)\end{matrix}\right.$

Từ (2) ta suy ra: $(-3x^{2}+8xy+3y^{2})^{2}=(3y-x)^{2}(y^{2}-2x^{2})=>11x^{4}-60x^{3}y+63x^{2}y^{2}+54xy^{3}=0$

$=>\begin{bmatrix} x=0\\ x=3y \\11x+6y=0 \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} x=0\\ x=3\sqrt{2x^{2}+1} \\ 11x+6\sqrt{2x^{2}+1}=0 \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} x=0\\ x=\frac{-6}{7} \end{bmatrix}$

Thử lại thấy $x=0$ là nghiệm

[Mylovemath]

Cho mình hỏi ngoài lề 1 chút !

tại sao năm nay mình lớp 12 vẫn phải bị chọn đi thi Olympic toán

Nếu vậy thì tìm đề thi của Olympic toán 12 ở đâu giờ ?

[Ispectorgadget]

Cho mình hỏi ngoài lề 1 chút !

tại sao năm nay mình lớp 12 vẫn phải bị chọn đi thi Olympic toán

Nếu vậy thì tìm đề thi của Olympic toán 12 ở đâu giờ ?

Chắc là thi HSG tỉnh xong GV chém gió là thi OLP cho nó "nguy hiểm" ấy mà

[davidhg1719]

Câu 1 : Giải phương trình $$3\left ( \sqrt{2x^2+1}-1 \right )=x\left ( 1+3x+8\sqrt{2x^2+1} \right )$$

 

Câu 2 : Với mọi số nguyên dương $n$, hãy xác định theo $n$ số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $$x^2-y^2=100.30^{2n}$$. Đồng thời chứng minh số cặp này không thể là số chính phương.

 

Câu 3 : Cho $(O,R)$ và hai điểm $P,Q$ cố định. $P$ nằm ngoài và $Q$ nằm trong $(O)$. Dây cung $AB$ di động qua $Q$ của $(O)$. $PA,PB$ cắt $(O)$ lần lượt tại $C,D$. Chứng minh $CD$ luôn đi qua một điểm cố định

 

Câu 4 : Cho $a,b,x,y>0$ và thỏa $a+b=1,ax+by=2,ax^2+by^2=3$. Chứng minh :

$$4<ax^3+by^3<4,5$$

 

Câu 5 : Cho tập $X$ gồm $n$ phần tử. Hỏi có bao nhiêu bộ thứ tự $(A,B,C)$ với $A,B,C$ là các tập con của $X$ sao cho $$X=A\cup B\cup C$$

Câu 2: 

Theo bài ra, ta có: $(x-y)(x+y)=100.30^{2n}$

Suy ra x+y và x-y đều chẵn.

Đặt $ a=\frac{x+y}{2}; b=\frac{x-y}{2}$, ta được: 

$a.b=2^{2n}.3^{2n}.5^{2n+2}=A$

Số các ước của A là $(2n+1)^{2}.(2n+3)$

Vì $a>b$ nên suy ra số cặp $(x,y)$ thỏa mãn là số cặp $(a,b)$ thỏa mãn là $\frac{1}{2}\left [ (2n+1)^{2}.(2n+3)-1 \right ]=(n+1)(4n^{2}+6n+1)$

Ta sẽ chứng minh $n+1)(4n^{2}+6n+1)$ không thể là số chính phương.

Thật vậy, giả sử $(n+1)(4n^{2}+6n+1)$ là số chính phương. Vì $ gcd(n+1;4n^{2}+6n+1)=1$ nên $4n^{2}+6n+1$ phải là số chính phương.

Vô lý vì $(2n+1)^{2}<4n^{2}+6n+1<(2n+2)^{2} $