Chủ đề này có 1 trả lời

[lanphuong000]

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2014}+u_n & \end{matrix}\right.$ 

 

Tìm: $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}})$

[Crystal]

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2014}+u_n & \end{matrix}\right.$ 

 

Tìm: $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}})$

Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2014}} \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2014\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\]

Suy ra: \[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}}}} \right)}  = 2014\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\left( {1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Từ công thức của $\left\{ {{u_n}} \right\}$ ta dễ dàng suy ra đây là dãy đơn điệu tăng.

Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ bị chặn trên, khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn: $L = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}$. Hay $L = \frac{{{L^2}}}{{2014}} + L \Rightarrow L = 0$.

Điều nay mâu thuẫn với điều ta đã suy ra: $\left\{ {{u_n}} \right\}$ là dãy đơn điệu tăng với ${u_1} = 1$.

Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ không bị chặn trên, do đó ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty $. Từ $\left( * \right)$ suy ra:

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\left( {\frac{{{u_1}}}{{{u_2}}} + \frac{{{u_2}}}{{{u_3}}} + ... + \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\]