Chủ đề này có 6 trả lời

[zack]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=1$

chứng minh rằng;

$\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\leq \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zack: 01-03-2014 - 03:33

[Tran Nho Duc]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=1$

chứng minh rằng;

$\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\leq \frac{1}{3}$

Hình như nó phải là $\geq \frac{1}{3}$ mới đúng chứ !!!!!

[Tran Nho Duc]

Cauchy-Swarz ta có $\frac{a^{4}}{ab+2ac}+\frac{b^{4}}{bc+2ab}+\frac{c^{4}}{ac+2bc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{ab+bc+ca}{3(ab+bc+ca)}=\frac{1}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

[angleofdarkness]

Cauchy-Swarz ta có $\frac{a^{4}}{ab+2ac}+\frac{b^{4}}{bc+2ab}+\frac{c^{4}}{ac+2bc}$ $\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{ab+bc+ca}{3(ab+bc+ca)}=\frac{1}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

 

 

Chỗ màu đỏ, từ phải là $\geq (a^2+b^2+c^2)^2 \geq (ab+bc+ca)^2$ chứ nhỉ?

[angleofdarkness]

Bài làm của bạn vẫn chưa sử dụng đến đk $a^2+b^2+c^2=1$ của bài toán, có thể khắc phục như sau:

 

Áp dụng BĐT Cauchy 2 số dương $a^2; b^2; c^2$ lần lượt theo các cặp ta có được $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ 

 

Ta có $\frac{a^{4}}{ab+2ac}+\frac{b^{4}}{bc+2ab}+\frac{c^{4}}{ac+2bc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2}{3(ab+bc+ca)} (Schwarz) \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ 

 

Hay $\frac{a^{4}}{ab+2ac}+\frac{b^{4}}{bc+2ab}+\frac{c^{4}}{ac+2bc} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\frac{1}{3}$

 

Dấu = khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

[Kaito Kuroba]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=1$

chứng minh rằng;

$\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\leq \frac{1}{3}$

 

hoặc một cách khác dùng AM-GM:

 

$\sum \left ( \frac{a^3}{b+2c} +\frac{a(b+2c)}{9}\right )\geq 2\sum \frac{a^2}{9}$

 

đến đây dùng BĐT quen thuộc: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ là OK!

[Tran Nho Duc]

Chỗ màu đỏ, từ phải là $\geq (a^2+b^1 2+c^2)^2 \geq (ab+bc+cáa)^2$ chứ nhỉ?

Ừ. Đúng rồi , cảm ơn bạn ! Mình cứ hay viết thiếu , ngại quá !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nho Duc: 01-03-2014 - 19:42