Câu $1$ ,
a, Giải phương trình $2\sqrt{2x-1}=x^2+1.$
b, Giải hệ phương trình $$\begin{cases}3x^3+xy^2=2y \\ y^3+x^2y=-2x. \end{cases}$$
Câu $2$ ,
a, Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.$$ Tính $$\mathbb{P}=a^{2012}+b^{2013}+c^{2014}.$$
b, Cho $x,y>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\mathbb{P}=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$
Câu $3$ ,
Giả sử phương trình $\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=3$ có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau $(a;b;c); (p;q;r); \left(\dfrac{a}{p};\dfrac{b}{q}; \dfrac{c}{r}\right).$
Chứng minh $(ap^2;bq^2;cr^2)$ cũng là nghiệm của phương trình đó.
Câu $4$ ,
Tam giác $ABC$ có $AB=AC=a; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\alpha \in (0^0;90^0).$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Góc $\widehat{xMy}$ quay quanh điểm $M$ sao cho $Mx, My$ cắt $AB, AC$ tại $D, E.$
a) Tính tích $BD.CE$ theo $a; \alpha.$
b) Gọi $d_{(M;DE)}=R.$ Chứng minh rằng $AB, AC$ là các tiếp tuyến của $(M;R).$
c) Tìm vị trí của $D; E$ sao cho $S_{ADE}$ lớn nhất.
Câu $5$ ,
Lấy 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính $R=1$ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ khác $\sqrt{3}.$ Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn $120^0.$