Chủ đề này có 1 trả lời

[Thu Hoai 912]

viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(4;1) cắt 2 tia Ox và Oy lần lượt tại A và B (x_{A > 0},y_{B > 0}) sao cho diện tích \Delta OAB nhỏ nhất

[25 minutes]

viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(4;1) cắt 2 tia Ox và Oy lần lượt tại A và B (x_{A > 0},y_{B > 0}) sao cho diện tích \Delta OAB nhỏ nhất

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có hệ số góc là $k$ có dạng $d: y-1=k(x-4)\Leftrightarrow y=k(x-4)+1$

Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} y=0\\y=k(x-4)+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(\frac{4k-1}{k},0)$

Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x=0\\y=k(x-4)+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(0,1-4k)$

Khi đó $OA=\left | \frac{4k-1}{k} \right |,B+\left | 1-4k \right |$

Do $x_A,y_B>0\Rightarrow k<0$

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{(4k-1)^2}{2\left | k \right |}$

Đặt $k=-t$ $\Rightarrow S_{OAB}=\frac{(4t+1)^2}{2t}=f(t),t>0$

 $\Rightarrow f'(t)=8-\frac{1}{2t^2}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}$$\Rightarrow f(t)\geqslant f(\frac{1}{4})=8$

Khi đó $d:y=\frac{x-4}{4}+1\Leftrightarrow x-4y=0$