Chủ đề này có 10 trả lời

[lehoangphuc1820]

Q7. Determine all positive integer $a$ such that the equation 

  $2x^2-210x+a=0$

has two prime roots, i.e both roots are prime numbers.

Q8. If $n$ and $n^3+2n^2+2n+4$ are both perfects squares, find $n$.

Q9. Let be given a triangle $ABC$ and points $D,M,N$ belong to $BC,AB,AC,$ respectively. Suppose that $MD$ is parallel to $AC$ and $ND$ is parallel to $AB$. If $S_{BMD}=9cm^2$,if $S_{DNC}=25cm^2$, compute $S_{AMN}$

Q10. fine the maximum value of 

$M=\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}, x,y,z>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoangphuc1820: 15-03-2014 - 20:47

[lehoangphuc1820]

ai giúp mình với

[angleofdarkness]

Bạn ơi giải bằng tiếng Việt được chứ? Viết bằng tiếng Anh lằng nhằng và hơi khó (vốn từ mình ít    )

[lehoangphuc1820]

Bạn ơi giải bằng tiếng Việt được chứ? Viết bằng tiếng Anh lằng nhằng và hơi khó (vốn từ mình ít    )

bạn giải bằng tiếng việt cũng đc, mình tự dịch sang tiếng anh 

[angleofdarkness]

Q8. If $n$ and $n^3+2n^2+2n+4$ are both perfects squares, find $n$.

 

 

Xét $A=n.(n^3+2n^2+2n+4)=n^4+2n^3+2n^2+4n$ cũng là scp.

 

- Nếu n = 0 thì thỏa mãn.

 

- Nếu n > 0 (do n là scp) thì ta biến đổi $A=(n^2+n)^2+n^2+4n>(n^2+n)^2$ (1)

 

Xét hiệu $(n^2+n+1)^2-A=[(n^2+n)^2+2.(n^2+n)+1]-[(n^2+n)^2+n^2+4n] \\ =n^2-2n+1=(n-1)^2 \geq 0 (2)$ 

 

$\Rightarrow (n^2+n+1)^2 \geq A$. Kết hợp với (1) có $(n^2+n)^2<A \leq (n^2+n+1)^2$

 

A là scp nên $A=(n^2+n+1)^2 \Rightarrow (n-1)^2=0$ (có (2) )

 

Tức n = 1 (thử lại thì chọn)

 

Vậy n = 0; 1 thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 16-03-2014 - 14:02

[angleofdarkness]

Q9. Let be given a triangle $ABC$ and points $D,M,N$ belong to $BC,AB,AC,$ respectively. Suppose that $MD$ is parallel to $AC$ and $ND$ is parallel to $AB$. If $S_{BMD}=9cm^2$,if $S_{DNC}=25cm^2$, compute $S_{AMN}$

 

 

 

Ta có tứ giác AMDN là hbh nên $S_{AMDN}=2.S_{AMN}$ và từ MD // AC, ND // AB ta có $\Delta$BMD$\sim$$\Delta$DNC (g. g)

 

$\Rightarrow \Big( \dfrac{BD}{CD} \Big)^2=\dfrac{S_{BMD}}{S_{DNC}}=\dfrac{9}{25} \Rightarrow \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{5}$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{3}{8} & & \\ \\ \dfrac{CD}{BC}=\dfrac{5}{8} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{S_{BMD}}{S_{ABC}}=\Big( \dfrac{BD}{BC} \Big)^2=\dfrac{9}{64} & & \\ \\  \dfrac{S_{DNC}}{S_{ABC}}=\Big( \dfrac{CD}{BC} \Big)^2=\dfrac{25}{64} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow S_{ABC}=64$

 

$\Rightarrow S_{AMN}=\dfrac{S_{AMDN}}{2}=\dfrac{S_{ABC}-S_{BMD}-S_{DNC}}{2}=\dfrac{64-9-25}{2}=15$

[lahantaithe99]

 

Q10. fine the maximum value of 

$M=\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}, x,y,z>0$

Ta có

 

$2M=\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}$

 

$=\sum (1-\frac{y}{2x+y})=3-(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x})$ $(1)$

 

Áp dụng bdt Cauchy Shwarz

 

$\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1 (2)$

 

$(1);(2)\Rightarrow 2M\leqslant 2\Rightarrow M\leqslant 1$

 

Vậy Max $M=1$

[angleofdarkness]

Q7. Determine all positive integer $a$ such that the equation 

  $2x^2-210x+a=0$

has two prime roots, i.e both roots are prime numbers.

 

 

Giả sử tồn tại a thỏa mãn. Theo đ/l Vi-e thì 2 nghiệm của pt là các số ng.tố và tổng là 105 lẻ nên 2 nghiệm là 2 và 103

 

Tích hai nghiệm là $\dfrac{a}{2}=2.103 \Rightarrow a=2.2.103=412.$

 

P/S: Bài này thú vị =))

[lehoangphuc1820]

Ta có

 

$2M=\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}$

 

$=\sum (1-\frac{y}{2x+y})=3-(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x})$ $(1)$

 

Áp dụng bdt Cauchy Shwarz

 

$\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1 (2)$

 

$(1);(2)\Rightarrow 2M\leqslant 2\Rightarrow M\leqslant 1$

 

Vậy Max $M=1$

Dấu ''='' xảy ra khi nào? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoangphuc1820: 17-03-2014 - 20:57

[lahantaithe99]

Dấu ''='' xảy ra khi nào? 

Khi $x=y=z>0$

[lehoangphuc1820]

Q11. A triangle is said to be Heron triangle if it has integer sides and integer area. In a Heron triangle, the sides a,b,c satisfy the equation b=a(a-c) 

a,b,c are such that b=a(a−c)

. Prove that this triangle is isosceles. (năm 2007)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoangphuc1820: 18-03-2014 - 20:17