Chủ đề này có 2 trả lời

[hihi2zz]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx \leq 3.$Chứng minh rằng:

$\frac{2}{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 16-03-2014 - 20:25

[caovannct]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx \leq 3.$Chứng minh rằng:

$\frac{2}{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq 3$

đặt a=1/x, b=1/y, c=1/z. từ giả thiết ta có

$3abc\geq a+b+c$ (1)

bđt cần chứng minh <=> với $2\sqrt{abc}+\frac{27a^2b^2c^2}{(2b+a)(2c+b)(2a+b)}$ (2)

Theo AM-GM và ta có VT(2)$\geq 2\sqrt{abc}+\frac{3(a+b+c)^2}{(\frac{3a+3b+3c}{3})^3}=2\sqrt{abc}+\frac{3}{a+b+c}\geq 2\sqrt{abc}+\frac{1}{abc}$

lại áp dụng AM - GM cho 3 số $\sqrt{abc}, \sqrt{abc}, \frac{1}{abc}$ ta có đpcm

OK???

[thanhducmath]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx \leq 3.$Chứng minh rằng:

$\frac{2}{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq 3$(*)

ta có

$VT(*)\geq 3\sqrt[3]{\frac{27}{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$$=3\sqrt[3]{\frac{27}{(2xz+yz)(2xy+xz)(2zy+xy)}}$

$\geq \frac{9}{\frac{2xz+yz+2yx+zx+2zy+xy}{3}}$

$\geq 3$