Chủ đề này có 16 trả lời

[phamphucat]

[buiminhhieu]

Câu 2 là đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm ngoái

có trong NCPT 9

[Vu Thuy Linh]

Bài 1a: ĐK : $x^{2}-x-6\geq 0\Leftrightarrow (x+2)(x-3)\geq 0\Leftrightarrow x\leq -2\cup x\geq 3$

Đặt $\sqrt{x^{2}-x-6}=y(y\geq 0)$ => $y^{2}+y-12=0\Leftrightarrow (y-3)(y+4)=0\Leftrightarrow y=3$

Thay vào => $x^{2}-x-15=0$

$\Delta =61=>x=\frac{1\pm \sqrt{61}}{2}$

kết hợp ĐKXĐ => x = $\frac{1+\sqrt{61}}{2}$

b. $\left (x^{3}-y^{3} \right )-7(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-7)=0$

Mà x khác y => $x^{2}+xy+y^{2}-7=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+3xy=7$

Vì x, y nguyên dương và $7=1^{2}+3.2=2^{2}+3.1$

(1) $\left\{\begin{matrix} \left | x-y \right |=1\\ xy=2 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow x=1, y=2$ hoặc x = 2, y = 1

(2) $\left\{\begin{matrix} \left | x-y \right |=2\\ xy=3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=1, y=3$ hoặc x = 3, y = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 18-03-2014 - 18:01

[buiminhhieu]

Câu 1a);ĐK :$\begin{bmatrix} x\geq 3 & \\ x\leq -2& \end{bmatrix}$

Đặt $\sqrt{x^{2}-x-6}=t(t\geq 0)$

PT khi đó trở thành :

$t^{2}+t-12=0\Leftrightarrow (t-3)(t+4)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} t=-4 & \\ t=3& \end{bmatrix}$

b)PT $\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-7)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 18-03-2014 - 17:57

[lahantaithe99]

Câu 1

a) Đặt $\sqrt{x^2-x-6}=a(a\geqslant 0)$

Phương trình trở thành

$a^2+a-12=0$

Giải phương trình bậc 2 này tìm $a$ rồi tìm $x$

b)$PT\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-7(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0$

Chia TH ra để tìm

Câu 4 Tính đc $MC=5$

Mk ko bít vẽ hình nên các bạn thông cảm

Có $\triangle DBM\sim\triangle CAM\Rightarrow \frac{BM}{MA}=\frac{DM}{MC}=\frac{BD}{CA}$

$\Rightarrow \frac{BM}{3}=\frac{DM}{5}=\frac{BD}{4}=k\Rightarrow BM=3k;BD=4k=BA$

Có $MA=BA-BM=4k-3k=k=3\Rightarrow BM=3k=9$

b) Từ phần a dễ cm phần b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 18-03-2014 - 18:34

[buiminhhieu]

Câu 3:đặt $t=\left | x_{1}-x_{2} \right |\Rightarrow t^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$

Lại có $PT\Leftrightarrow 4x^{2}+x(m-7)-m=0$

Theo định lí viete:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{7-m}{4} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{-m}{4} & \end{matrix}\right.$

Do đó $t^{2}=\frac{m^{2}+2m+49}{16}=\frac{(m+1)^{2}+48}{16}\geq3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 19-03-2014 - 11:51

[Vu Thuy Linh]

Bài 2:

Xét dạng tổng quát : $1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{(1+n)^{2}}{n^{2}}-\frac{2}{n}+\frac{1}{(n+1)^{2}}=(\frac{1+n}{n}-\frac{1}{n+1})^{2}$

=>$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{\left (n+1 \right )^{2}}}=\left | 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right |=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Thay n lần lượt các giá trị từ 1 đến 2014

[Tran Nho Duc]

Bài 2 :

Ta có : $1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1^{2}+(\frac{1}{1})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+2.1.\frac{1}{1}-2.\frac{1}{1}.\frac{1}{2}-2.1.\frac{1}{2}=(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2})^{2}$

C/m tương tự với các đơn thức còn lại :

$\Rightarrow S=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.....+1+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}=2014-\frac{1}{2014}$

[Vu Thuy Linh]

Bài 4b: bạn tự vẽ hình

Kẻ đường kính AO cắt cung BC tại điểm M

ta có: $\angle MCA=90^{\circ}\Rightarrow MC//BH$, $\angle ABM=90^{\circ}\Rightarrow BM//CH$

=> Tứ giác BHCM là hình bình hành

=> M thuộc đường kính AO

b, Gọi P,Q và K lần lượt là chân đường cao hạ từ C, B và A

tg APHQ nội tiếp => $\angle PAQ +\angle PHQ=180^{\circ}$

Tg PHKB nội tiếp => $\angle BHK=\angle BPK$ (1)

tg HKCQ nội tiếp => $\angle KHC=\angle KQC$ (2)

tỪ (1) VÀ (2) => $\angle BHC=\angle BPK+\angle KQC=180^{\circ}-\angle BAC=\angle PHQ$

=> N, H, E THẲNG HÀNG

[phamphucat]

Câu 3:đặt $t=\left | x_{1}-x_{2} \right |\Rightarrow t^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$

Lại có $PT\Leftrightarrow 4x^{2}+x(m-7)-m=0$

Theo định lí viete:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{7-m}{4} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{-m}{4} & \end{matrix}\right.$

Do đó $t^{2}=\frac{m^{2}+2m+7}{16}=\frac{(m+1)^{2}+6}{16}\geq \frac{3}{8}$

Bạn bị sai rồi. GTNN phải là $\sqrt{3}$ mới đúng. Có vẻ bạn đã bị lộn dấu

[phamphucat]

 

b. $\left (x^{3}-y^{3} \right )-7(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-7)=0$

Mà x khác y => $x^{2}+xy+y^{2}-7=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+3xy=7$

Vì x, y nguyên dương và $7=1^{2}+3.2=2^{2}+3.1$

(1) $\left\{\begin{matrix} \left | x-y \right |=1\\ xy=2 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow x=1, y=2$ hoặc x = 2, y = 1

(2) $\left\{\begin{matrix} \left | x-y \right |=2\\ xy=3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=1, y=3$ hoặc x = 3, y = 1

Rõ ràng x=3,y=1 không phải là nghiệm của phương trình

[phamphucat]

Hình bài 4.2b

File gửi kèm

•  untitled1.bmp   629.75K   205 Số lần tải

[Maxushelisdragon]

Em là người mới thi bài đó.Theo em làm thì bài 1.a) nghiệm là $\frac{1\pm \sqrt{61}}{2}$ còn b) là x=1,y=2 và x=2,y=1

[buiminhhieu]

Bạn bị sai rồi. GTNN phải là $\sqrt{3}$ mới đúng. Có vẻ bạn đã bị lộn dấu

Mình nhầm chút $7^{2}=49$ mà mình viết $7^{2}=7$ nên sai!

[bacninhquehuongtoi]

Bài 5

Ta có $\frac{2}{3}\leq \frac{a\left ( c-d \right )+3d}{b\left ( d-c \right )+3c}\Leftrightarrow 2bd-2bc+6c\leq 3ac-3ad+9d\Leftrightarrow 2bd-2bc+6c-3ac+3ad-9d\leq 0$ Mà $2\leq a;b;c;d\leq 3$

nên $\left ( b-2 \right )\left ( d-3 \right )\leq 0\Leftrightarrow 2bd\leq 6b+4d-12$

 $\left ( c-3 \right )\left ( b-3 \right )\geq 0\Leftrightarrow -2cb\leq 18-6b-6c$ (2)

$\left ( c-3 \right )\left (a-3 \right )\geq 0\Leftrightarrow -3ca\leq 27-9a-9c$ (3)

  $\left ( d-3 \right )\left (a-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow 3da\leq9a+6d-18$ (4)

Từ (1)(2)(3)(4)$\rightarrow 2bd-2bc+6c-3ac+3ad-9d\leq 4d-6c+6+6d-9c+9+6c-9d\doteq d-9c+15\leq 3-9*2+15= 0$

dấu = xảy ra a=b=d=3;c=2

vế còn lại ta có thể làm hoàn toàn tương tự và dấu = xảy ra a=b=c=3; d=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bacninhquehuongtoi: 21-03-2014 - 10:47

[Maxushelisdragon]

Bài 5

Ta có $\frac{2}{3}\leq \frac{a\left ( c-d \right )+3d}{b\left ( d-c \right )+3c}\Leftrightarrow 2bd-2bc+6c\leq 3ac-3ad+9d\Leftrightarrow 2bd-2bc+6c-3ac+3ad-9d\leq 0$ Mà $2\leq a;b;c;d\leq 3$

nên $\left ( b-2 \right )\left ( d-3 \right )\leq 0\Leftrightarrow 2bd\leq 6b+4d-12$

 $\left ( c-3 \right )\left ( b-3 \right )\geq 0\Leftrightarrow -2cb\leq 18-6b-6c$ (2)

$\left ( c-3 \right )\left (a-3 \right )\geq 0\Leftrightarrow -3ca\leq 27-9a-9c$ (3)

  $\left ( d-3 \right )\left (a-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow 3da\leq9a+6d-18$ (4)

Từ (1)(2)(3)(4)$\rightarrow 2bd-2bc+6c-3ac+3ad-9d\leq 4d-6c+6+6d-9c+9+6c-9d\doteq d-9c+15\leq 3-9*2+15= 0$

dấu = xảy ra a=b=d=3;c=2

vế còn lại ta có thể làm hoàn toàn tương tự và dấu = xảy ra a=b=c=3; d=2

bạn phải chứng minh tử và mẫu đều dương thì mới biến đổi tương đương

[phamphucat]

Dễ thấy $|c-d| = |d-c| \leg 1$ nên $a(c-d)$ lớn nhất là $-3<3c$