Chủ đề này có 2 trả lời

[Thao ThuyNguyen]

Cho a, b, c, d dương và $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\geq 3$.

Chứng minh: $abcd\leq \frac{1}{81}$.

[lahantaithe99]

Cho a, b, c, d dương và $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\geq 3$.

Chứng minh: $abcd\leq \frac{1}{81}$.

Ta có

 

$\frac{1}{a+1}\geqslant (1-\frac{1}{1+b})+(1-\frac{1}{1+c})+(1-\frac{1}{1+d})$

 

$=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geqslant 3.\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$

 

Thiết lập tương tự như vậy đối với mỗi phân thức còn lại rồi nhân theo từng vế ta có

 

$\frac{1}{(a+1))(b+1)(1+c)(1+d)}\geqslant 81.\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

 

$\Leftrightarrow 1\geqslant 81abcd\Leftrightarrow abcd\leqslant \frac{1}{81}$

[Miranda]

Cho a, b, c, d dương và $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\geq 3$.

Chứng minh: $abcd\leq \frac{1}{81}$.

Từ $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\geq 3 \Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq 3-\left ( \frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} +\frac{1}{1+d}\right ) \Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}$.

Áp dụng BĐT CÔ-SI cho 3 số không âm, có:

$\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\left ( 1+d \right )}}$.

Tương tự, ta có:

$\frac{1}{1+b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+c \right )\left ( 1+d \right )}}$

$\frac{1}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+d \right )}}$

$\frac{1}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}$

Nhân vế với vế các BĐT trên, được: 

$\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\left ( 1+d \right )}\geq 81\frac{abcd}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\left ( 1+d \right )}$

$\Leftrightarrow abcd\leq \frac{1}{81}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a= b= c= d= \frac{1}{3}$