Chủ đề này có 1 trả lời

[TienDatptbt]

$\left ( \sqrt{x-1} \right )^{3}+mx=m+1$
Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi $m\in R$.

[phatthemkem]

$\left ( \sqrt{x-1} \right )^{3}+mx=m+1$
Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi $m\in R$.

TXĐ: $\mathbb{D}=\left [ 1;+\infty \right )$

Ta có: $\left ( \sqrt{x-1} \right )^{3}+mx=m+1\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-1} \right )^{3}+mx-m-1=0$

Đặt $f(x)=\left ( \sqrt{x-1} \right )^{3}+mx-m-1$ có TXĐ là $\mathbb{D}$, ta có: $f'(x)=\frac{3}{2} \sqrt{x-1} +m$

$*$ Xét $m > 0$ thì $f'(x) > 0,\forall x\in \mathbb{D}$ và $f(1)=-1 < 0$ nên $f(x)$ luôn cắt trục hoành với mọi $m > 0$

$*$ Xét $m = 0$ thì $x=2$ thỏa TXĐ

$*$ Xét $m < 0$ thì ta có:

        $f'(x) > 0\Leftrightarrow \frac{3}{2} \sqrt{x-1} +m > 0\Leftrightarrow x > \frac{2}{3}m^2+1$

      Và $f'(x) < 0\Leftrightarrow \frac{3}{2} \sqrt{x-1} +m < 0\Leftrightarrow 1< x < \frac{2}{3}m^2+1$

      Suy ra $f(x)$ giảm trên $\left ( 1;\frac{2}{3}m^2+1 \right )$, tăng trên $\left ( \frac{2}{3}m^2+1;+\infty  \right )$

      Mặt khác ta lại có $f\left ( \frac{2}{3}m^2+1 \right )=\frac{2}{3}m^3\left ( 1-\sqrt{\frac{2}{3}} \right )-1 < 0,\forall m < 0$ nên $f(x)$ luôn cắt trục hoành với mọi $m < 0$

Tóm lại, với mọi số $m$ thực thì phương trình đã cho luôn có nghiệm thuộc $\left [ 1;+\infty \right )$