Cho phương trình $x^3+ax^2+bx-6=0$ với $a,b$ là các số nguyên và $x$ là ẩn số. Chứng minh : Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ $x$ thì $x\epsilon \mathbb{Z}$
#1
Đã gửi 29-03-2014 - 19:48
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#2
Đã gửi 29-03-2014 - 20:34
DTLC
-
- Thành viên
-
- 21 Bài viết
Binh nhất
Cho phương trình $x^3+ax^2+bx-6=0$ với $a,b$ là các số nguyên và $x$ là ẩn số. Chứng minh : Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ $x$ thì $x\epsilon \mathbb{Z}$
ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử phương trình có nghiệm $x_{0}$ là số hữu tỷ nhưng ko là số nguyên.
thế thì $x_{0}=\frac{m}{n}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và n>1, (m,n=1)
thay vào phương trình đã cho ta có: $\frac{m^3}{n^3}+\frac{am^2}{n^2}+\frac{bm}{n}=6 \Leftrightarrow m^3+anm^2+bn^2m=6n^3$
từ trên suy ra $m^3 \vdots n$ mâu thuẫn với giả thiết , từ đó suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DTLC: 29-03-2014 - 20:37
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
