Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangvtvpvn]

Tìm tất cả các số thực a, b để với mọi số thực x ta có: $a(cosx-1)+b^{2}+1-cos(ax+b^{2})=0$

[banhgaongonngon]

Tìm tất cả các số thực a, b để với mọi số thực x ta có: $a(cosx-1)+b^{2}+1-cos(ax+b^{2})=0$

 

Cho $x=0$ ta được

$b^{2}+1=\cos b^{2}$  $(*)$

 

Do $b^{2}+1\geq 1\geq \cos b^{2}$ nên từ $(*)$ suy ra $b=0$

 

Với $b=0$, ta có

$a\left ( \cos x - 1 \right )+1 = \cos \left ( ax \right ),\forall x\in \mathbb{R}$

 

 

Cho $x= \pi$ ta được

$2a+\cos \left ( ax \right )=1\Rightarrow 0\leq a\leq 1$

 

Xét hàm $f$ trên $\left [ 0;1 \right ]$ xác định bởi

$f(t)=2t+\cos(\pi t)-1$

 

Ta có

$f''(t)=-\pi ^{2}\cos (\pi t)$

$f''(t)=0\Leftrightarrow t=0$

 

Theo định lí $Roll$, phương trình $f(t)=0$ có không quá ba nghiệm phân biệt

 

Mặt khác $f(0)=f(1)=f\left ( \frac{1}{2} \right )$ nên phương trình $f(x)=0$ có tập nghiệm $\left \{ 0;\frac{1}{2};1 \right \}$

 

Do đó $a\in \left \{ 0;\frac{1}{2};1 \right \}$

 

Thử lại ta thấy các bộ số thỏa mãn bài toán là

$\boxed {\left ( a,b \right )\in \left \{ (0;0),(1;0) \right \}}$