Chủ đề này có 3 trả lời

[barcavodich]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\leq 3b$
Tìm Max $P=ab+bc+2ca+\sqrt{2a+b+2c+3}$
(Trích Đề thi thử ĐH $2013-2014$ chuyên Nguyễn Huệ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 03-04-2014 - 17:06

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\leq 3b$
Tìm Max $P=ab+bc+2ca+\sqrt{2a+b+2c+3}$
(Trích Đề thi thử ĐH $2013-2014$ chuyên Nguyễn Huệ)

Dự đoán đâu bằng xảy ra khi $a=c=1, b=2$ và thấy $P$ đối xứng $a,c$ nên ta sẽ đưa $P \leqslant f(b)$

Từ giả thiết ta có $a^2+b^2+c^2\leqslant 3b\Rightarrow b \in \left [ 0;3 \right ]$

Áp dụng AM-GM ta có 

               $3b-b^2\geqslant a^2+c^2\geqslant 2(a+c)-2\Rightarrow a+c\leqslant \frac{3b-b^2+2}{2}$

Và          $3b-b^2\geqslant a^2+c^2\geqslant 2ac$

Khi đó $P=b(a+c)+2ac+\sqrt{b+2(a+c)+3}\leqslant \frac{b(3b-b^2+2)}{2}+3b-b^2+\sqrt{b+3b-b^2+2+3}$

    $\Rightarrow P \leqslant f(b)=\frac{-b^3+b^2+8b}{2}+\sqrt{4b-b^2+5}$

    $\Rightarrow 2P \leqslant 2f(b)=-b^3+b^2+8b+\sqrt{16b-4b^2+20}$

Xét $2f'(b)=-3b^2+2b+8+\frac{8-4b}{\sqrt{16b-4b^2+20}}=(2-b)(3b+4+\frac{2}{\sqrt{16b-4b^2+20}})$

       $\Rightarrow 2f'(b)=0\Leftrightarrow b=2$

Lập bảng biến thiên ta có $f(b) \leqslant f(2)=9$

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 03-04-2014 - 18:14

[levanvu12a1]

​Cho em hỏi một chút từ giả thiết chỉ $\Rightarrow b \in (0;+\infty) $  Mong mọi người giúp đỡ!!

[25 minutes]

​Cho em hỏi một chút từ giả thiết chỉ $\Rightarrow b \in (0;+\infty) $  Mong mọi người giúp đỡ!!

Ta có $3b\geqslant a^2+b^2+c^2>b^2\Rightarrow b \in (0,3)$