2 replies to this topic

[mango]

Cho x,y dương CMR:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq \frac{x+y}{x+y+xy+1}+\frac{3}{2}$

[Cao thu]

Biến đổi tương đương:

$2(x^2+y^2)(x+y+xy+1)\geq (5x+5y+3xy+3)xy \Leftrightarrow 2x^3+2x^3y+2x^2+2y^3+2xy^3+2y^2\geq 3x^2y+3xy^2+3x^2y^2+3xy$

Mặt khác, theo AM-GM thì:

$x^3+x^3y+y^2\geq 3\sqrt[3]{x^6y^3}=3x^2y$

Edited by Cao thu, 03-04-2014 - 20:31.

[hoctrocuanewton]

Cho x,y dương CMR:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq \frac{x+y}{x+y+xy+1}+\frac{3}{2}$

C2: 

Áp dụng BĐT cô si ta có:

$(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}= (x+y)^{2}+2\sqrt{xy}(x+y)\geqslant 8xy$

$\Rightarrow \frac{(x+y)^{2}}{8xy}\geqslant \frac{x+y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}(1)$

ta lại có :

$\frac{x+y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}=\frac{x+y}{ x+y+2\sqrt{xy}}\geqslant \frac{ x+y}{ x+y+xy+1}(2)$

từ (1)(2) suy ra

$\frac{(x+y)^{2}}{8xy}\geqslant \frac{ x+y}{ x+y+xy+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{4}(\frac{x}{y}+\frac{y}{ x})=\frac{x^{2}+y^{2}}{4xy}\geqslant \frac{(x+y)^{2}}{ 8xy}\geqslant \frac{ x+y}{ xy+x+y+1}(3)$

Áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{3}{4}(\frac{x}{y}+\frac{y}{z})\geqslant \frac{3}{2} (4)$

Lấy (3)+(4) ta sẽ được đpcm