Chủ đề này có 3 trả lời

[Juliel]

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI 2013-2014

 

Câu 1 : 

Giải phương trình $$\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{x^2-x+1}=2x+1$$

 

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa $$cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}=4sin^2C$$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

 

Câu 3 : 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{a+6bc}+\dfrac{b}{b+6ca}+\dfrac{c}{c+6ab}\geq 1$$

 

Câu 4 : Cho hai số nguyên dương lẻ $m,n$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} n\mid m^2+2\\ m\mid n^2+2 \end{matrix}\right.$

1) Tìm một cặp gồm hai số nguyên dương $(m,n)$ thỏa mãn điều kiện trên mà $m,n>10$ và $m,n$ đều lẻ.

2) Chứng minh $4mn\mid m^2+n^2+2$

 

Câu 5 : Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác, tiếp điểm trên $AB,AC$ lần lượt là $D,E$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $OB$ và $DE$, $OC$ và $DE$. 

Chứng minh rằng :

$$MN=BC.sin\dfrac{A}{2}$$

[buiminhhieu]

 

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI 2013-2014

 

Câu 1 : 

Giải phương trình $$\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{x^2-x+1}=2x+1$$

 

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa $$cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}=4sin^2C$$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

 

Câu 3 : 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{a+6bc}+\dfrac{b}{b+6ca}+\dfrac{c}{c+6ab}\geq 1$$

 

Câu 4 : Cho hai số nguyên dương lẻ $m,n$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} n\mid m^2+2\\ m\mid n^2+2 \end{matrix}\right.$

1) Tìm một cặp gồm hai số nguyên dương $(m,n)$ thỏa mãn điều kiện trên mà $m,n>10$ và $m,n$ đều lẻ.

2) Chứng minh $4mn\mid m^2+n^2+2$

 

Câu 5 : Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác, tiếp điểm trên $AB,AC$ lần lượt là $D,E$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $OB$ và $DE$, $OC$ và $DE$. 

Chứng minh rằng :

$$MN=BC.sin\dfrac{A}{2}$$

 

Câu số đây anh

http://diendantoanho...-học-2013-2014/

[davidhg1719]

 

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI 2013-2014

 

Câu 1 : 

Giải phương trình $$\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{x^2-x+1}=2x+1$$

 

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa $$cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}=4sin^2C$$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

 

Câu 3 : 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{a+6bc}+\dfrac{b}{b+6ca}+\dfrac{c}{c+6ab}\geq 1$$

 

Câu 4 : Cho hai số nguyên dương lẻ $m,n$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} n\mid m^2+2\\ m\mid n^2+2 \end{matrix}\right.$

1) Tìm một cặp gồm hai số nguyên dương $(m,n)$ thỏa mãn điều kiện trên mà $m,n>10$ và $m,n$ đều lẻ.

2) Chứng minh $4mn\mid m^2+n^2+2$

 

Câu 5 : Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác, tiếp điểm trên $AB,AC$ lần lượt là $D,E$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $OB$ và $DE$, $OC$ và $DE$. 

Chứng minh rằng :

$$MN=BC.sin\dfrac{A}{2}$$

 

Câu 1: Đặt $a=\sqrt{x^{2}+x+2};b=\sqrt{x^{2}-x+1}$, ta được

$a+b=a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow a=b+1\Leftrightarrow x=1$

Cầu 3: $\sum \frac{a}{a+6bc}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+6abc}\geqslant \frac{(\sum a)^{2}}{\sum a^{2}+18abc}\geqslant 1 \Leftrightarrow 2\sum ab\geqslant 18abc\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}\geqslant 9$ (đúng vì $a+b+c=1$)

Câu 4: 

1/ (11;41)

2/ Gọi d=gcd(m;n) suy ra $2\vdots d\Rightarrow d=1$ (m,n lẻ)

$m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1(mod4)$ nên dễ dàng suy ra dpcm

Câu 5: $\widehat{ONC}=180-\widehat{DEC}-\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{\widehat{B}}{2}$

$\Rightarrow BMNC$ nội tiếp $\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{ON}{OB}=\frac{OD}{OA}=sin\frac{A}{2}$(tam giác OBN đồng dạng tam giác OAD)

[davidsilva98]

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI 2013-2014

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa $$cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}=4sin^2C$$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

Ta có:

*$cotA.cotB=\frac{(p-a)(p-b)}{r^{2})}=\frac{(p-a)(p-b)}{\frac{S^{2}}{p^{2}}}=\frac{p^{2}(p-a)(p-b)}{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{p}{(p-c)}$

*$sin^{2}C=(\frac{2S}{ab})^{2}=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^{2}b^{2}}$

Dẫn đến $\frac{p}{p-c}=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^{2}b^{2}}<=>16(p-a)(p-b)(p-c)^{2}=a^{2}b^{2}$

Theo bđt AM-GM ta có:

$4(p-a)(p-c)\leq (p-a+p-c)^{2}=b^{2}$

$4(p-b)(p-c)\leq (p-b+p-c)^{2}=a^{2}$

Suy ra $16(p-a)(p-b)(p-c)^{2}\leq a^{2}b^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} p-a=p-c\\ p-b=p-c \end{matrix}\right.<=>a=b=c$

Vậy $\bigtriangleup ABC$ đều