Với $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. Chứng minh: $\frac{2}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}+1$
Với $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. C/m: $\frac{2}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{a^
Bắt đầu bởi studentlovemath, 10-04-2014 - 16:11
#1
Đã gửi 10-04-2014 - 16:11
studentlovemath
-
- Thành viên
-
- 164 Bài viết
Trung sĩ
- firetiger05 yêu thích
Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình
#2
Đã gửi 10-04-2014 - 17:37
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Với $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. Chứng minh: $\frac{2}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}+1$
Ta có:$\sum \frac{2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}=3+\sum \frac{c^2}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3< = > \sum \frac{c^2}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}< = > \sum \frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{3}{2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}-\frac{3}{2}< = > \sum \frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{(a+b+c)(\sum (a-b)^2)}{2abc}< = > \sum (a-b)^2(\frac{a+b+c}{2abc}-\frac{1}{(c+a)(c+b)}\geq 0$(Luôn đúng do biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn 0)
- smush06 và firetiger05 thích
#3
Đã gửi 11-04-2014 - 15:34
studentlovemath
-
- Thành viên
-
- 164 Bài viết
Trung sĩ
Ta có:$\sum \frac{2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}=3+\sum \frac{c^2}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3< = > \sum \frac{c^2}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}< = > \sum \frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{3}{2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}-\frac{3}{2}< = > \sum \frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{(a+b+c)(\sum (a-b)^2)}{2abc}< = > \sum (a-b)^2(\frac{a+b+c}{2abc}-\frac{1}{(c+a)(c+b)}\geq 0$(Luôn đúng do biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn 0)
Có thể giải thích bằng cách không dùng kí hiêu $\sum$ được k ạ?
Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
