Cho $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của $P= (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tìm giá trị lớn nhất của $P= (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
#1
Đã gửi 11-04-2014 - 19:44
#2
Đã gửi 11-04-2014 - 20:14
Gợi ý nhé :
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Ta phải chứng minh: $3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Tiếp theo đó chứng minh: $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq\frac{5}{2}$
Do đó ta sẽ có:$3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2.\frac{5}{2}=10$
- RoyalMadrid và lahantaithe99 thích
#3
Đã gửi 12-04-2014 - 16:45
Có thể tổng quát bài toán trên thành
Cho các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \left [ a,b \right ]$
Khi đó ta có $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right )\leq n^{2}+k.\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4ab}$
trong đó $k=n^{2} nếu n chẵn,k=n^{2}-1 nếu n lẻ$
- haianhngobg, RoyalMadrid và firetiger05 thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#4
Đã gửi 12-04-2014 - 19:38
Gợi ý nhé :
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Ta phải chứng minh: $3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Tiếp theo đó chứng minh: $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq\frac{5}{2}$
Do đó ta sẽ có:$3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2.\frac{5}{2}=10$
Bạn có thể ns rõ cách suy luận hay nhận xét để có cách làm như thế đk k?
#5
Đã gửi 12-04-2014 - 19:44
Có thể tổng quát bài toán trên thành
Cho các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \left [ a,b \right ]$
Khi đó ta có $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right )\leq n^{2}+k.\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4ab}$
trong đó $k=n^{2} nếu n chẵn,k=n^{2}-1 nếu n lẻ$
Chứng minh tổng quát tn đk bạn?
#6
Đã gửi 14-04-2014 - 16:00
Các bạn có thể tham khảo cách chứng minh tại http://diendantoanho...c1yfrac1zfrac1/
- RoyalMadrid yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh