Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thoã mãn: $a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0$.
Chứng minh rằng: $(a+b)^2+(c+d)^2=2$
Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thoã mãn: $a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0$.
Chứng minh rằng: $(a+b)^2+(c+d)^2=2$
Ta phải cm ab+cd=0. Thật vậy $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=1 \Leftrightarrow (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=1\Rightarrow (ad-bc)^2=1 (1)$
Mặt khác $(a+b)^2(c+d)^2=(1+2ab)(1+2cd) \Leftrightarrow (ad+bc)^2=(1+2ab+2cd+4abcd) \Leftrightarrow (ad-bc)^2=1+2(ab+cd)$
Kết hợp với (1) ta suy ra đc ab+cd=0 (đpcm)
Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thoã mãn: $a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0$.
Chứng minh rằng: $(a+b)^2+(c+d)^2=2$
Từ (gt) ta có : $a^2-d^2=c^2-b^2$
Mặt khác : $0\le(ab+cd)^2=(ab+cd)^2-(ac+bd)^2=a^2b^2+c^2d^2-a^2c^2-b^2d^2$ $=(a^2-d^2)(b^2-c^2)=-(b^2-c^2)^2\le0$
Suy ra $ab+cd=0$. Do đó ta có (đpcm).
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh