Chủ đề này có 4 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$

[shinichigl]

$P=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{\left ( x^2y^2+1 \right )^2}{x^2y^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2y^2+1}{xy}\geq \frac{17}{4}$ (1)

Thật vậy ta có (1) $\Leftrightarrow x^2y^2-\frac{17}{4}xy+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy\geq 4& \\ xy\leq \frac{1}{4}& \end{bmatrix}$

Mặt khác $1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Từ đó chứng minh được (1)

Suy ra $P\geq \left (\frac{17}{4} \right )^2$

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 18-04-2014 - 10:00

[caovannct]

Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$

Theo C - S ta có $P\geq \frac{1}{4}(x+\frac{1}{y})^2(y+\frac{1}{x})^2=\frac{1}{4}(xy+2+\frac{1}{xy})^2$

Mặt khác $xy+\frac{1}{xy}=+xy\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{4(x+y)}=\frac{17}{4}$

Từ đó suy ra đc minP...

[RoyalMadrid]

$P=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{\left ( x^2y^2+1 \right )^2}{x^2y^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2y^2+1}{xy}\geq \frac{17}{4}$ (1)

Thật vậy ta có (1) $\Leftrightarrow x^2y^2-\frac{17}{4}xy+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy\geq 4& \\ xy\leq \frac{1}{4}& \end{bmatrix}$

Mặt khác $1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Từ đó chứng minh được (1)

Suy ra $P\geq \left (\frac{17}{4} \right )^2$

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn

[firetiger05]

Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn

Tại vì dấu = thường thường xảy ra <=> x=y.

Thay vào pt đầu là ra min ---> ....