Chủ đề này có 3 trả lời

[Messi10597]

Cho $a,b,c>0$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 18-04-2014 - 21:30

[Trang Luong]

ho $a,b>0$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

 

Ta có : $1+a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{4}\left ( 1+a+b+c \right )^2$

$(a+1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+3)^3}{27}$

Theo BĐT AM-GM

Đặt $a+b+c+1=t$

$\Rightarrow P\leq \frac{2}{t}-\frac{54}{(t+2)^3}\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{t}-\frac{54}{(t+2)^3}-\frac{1}{4}\leq 0\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{t}-\frac{1}{2} \right )-\left ( \frac{54}{(t+2)^3}-\frac{1}{4} \right )\leq 0\Leftrightarrow \frac{4-t}{2t}-\frac{216-(t+2)^3}{4(t+2)^3}\leq 0\Leftrightarrow \frac{t-4}{2t}+\frac{(4-t)(t^2+52+10t)}{4(t+2)^3}\geq 0$ $\Leftrightarrow \left ( t-4 \right )\left ( \frac{1}{2t}-\frac{t^2+52+10t}{4(t+2)^3} \right )\geq 0$

Xét hàm số $f\left ( t-4 \right )= \frac{1}{2t}-\frac{t^2+52+10t}{4(t+2)^3}$ đồng biến nên  $\left ( t-4 \right )\left ( \frac{1}{2t}-\frac{t^2+52+10t}{4(t+2)^3} \right )\geq 0$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 19-04-2014 - 17:29

[25 minutes]

Ta có : $1+a^2+b^2+c^2\leq \frac{1}{4}\left ( 1+a+b+c \right )^2$

$(a+1)(b+1)(c+1)\geq \frac{(a+b+c+3)^3}{27}$

$\Rightarrow \frac{2}{t}-\frac{54}{(t+2)^3}-\frac{1}{4}\leq 0\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{t}-\frac{1}{2} \right )-\left ( \frac{54}{(t+2)^3}-\frac{1}{4} \right )\leq 0\Leftrightarrow \frac{4-t}{8}-\frac{216-(t+2)^3}{4(t+2)^3}\leq 0\Leftrightarrow \frac{t-4}{8}+\frac{(t-4)(t^2+5t-2)}{4(t+2)^3}\geq 0$

 

Hai bất đẳng thức ban đầu đều ngược dấu, có thể do lỗi Latex

Giải thích rõ hơn tại sao bất đẳng thức cuối lại đúng, hay tại sao $t \geqslant 4$

[Trang Luong]

Hai bất đẳng thức ban đầu đều ngược dấu, có thể do lỗi Latex

Giải thích rõ hơn tại sao bất đẳng thức cuối lại đúng, hay tại sao $t \geqslant 4$

Phần cuối em làm k chắc lắm, Nhưng xét hàm số thấy đồng biến nên $\left ( t-4 \right )\left ( \frac{1}{2t}-\frac{t^2+52+10t}{4(t+2)^3} \right )\geq 0$ thôi ạ