Chủ đề này có 1 trả lời

[huuqui142]

Cho x, y, z là ba số thực thỏa: $x^2+y^2+z^2=8$
Tìm GTLN và GTNN của $P=(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-04-2014 - 23:13

[Math Is Love]

Cho x, y, z là ba số thực thỏa: $x^2+y^2+z^2=8$
Tìm GTLN và GTNN của $P=(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$

Không mất tính tổng quát giả sử $y$ là số nằm giữa $x;z$. Khi đó $(x-y)(y-z) \geq 0$

Ta có: $P= (x-y)^5 + (y-z)^5 - ((x-y)+(y-z))^5$.

Đặt $a=x-y;b=y-z$ thì ta có $ab \geq 0$ và $P= a^5+b^5-(a+b)^5$

Ta có:

$$(a+b)^2=(x-z)^2=x^2+z^2-2xz=8-2xz-y^2$$

$$\leq 8+(x^2+z^2)-y^2=16-2y^2 \leq 16$$

Vậy $-4 \leq a+b \leq 4$.

Vì $ab \geq 0$ nên $a;b$ cùng dấu.

Vì $P=-(5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4)$  mà $a;b$ cùng dấu nên dễ thấy:

$P_{max}$ khi $a;b \leq 0$ và $P_{min}$ khi $a;b \geq 0$

$+,$ Nếu $a;b \geq 0$. Khi đó:

$$P= a^5+b^5-(a+b)^5 \geq \frac{(a+b)^5}{2^4}-(a+b)^5=\frac{-15(a+b)^5}{16} \geq \frac{-15.4^5}{16}$$

$+,$ Nếu $a;b \leq 0$. Khi đó:

$$P= a^5+b^5-(a+b)^5 \leq \frac{(a+b)^5}{2^4}-(a+b)^5=\frac{-15(a+b)^5}{16} \leq \frac{15.4^5}{16}$$

Vậy ta có $P_{min}=-15.4^3$ khi $\left ( x;y;z \right )=\left ( 2;0;-2 \right )$

$P_{max}=15.4^3$ khi $\left ( x;y;z \right )=\left ( -2;0;2 \right )$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Is Love: 20-04-2014 - 18:57