Chủ đề này có 4 trả lời

[henry0905]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} & \\ 7x^{4}+13x+8=2y^{4}\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} & \end{matrix}\right.$

[lahantaithe99]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} & \\ 7x^{4}+13x+8=2y^{4}\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} & \end{matrix}\right.$

 

Xét thấy $x=y=0$ không phải nghiệm của pt nên $x,y\neq 0$

 

Đặt $x=ty$

 

Khi đó PT $(1)\Leftrightarrow t^{2013}y^{2013}+ty^{2014}=y^{2026}+y^{2014}$

 

$\Leftrightarrow t^{2013}+t=y^{2013}+y$

 

$\Leftrightarrow (t-y)(....+1)=0$

 

Ta chứng minh được biểu thức trong ngoặc $> 0\Rightarrow t=y\Rightarrow x=y^2$

 

Thế vào pt $(2)$ (như thế này k chắc chắn đúng)

 

pt $(2)$ $7x^4+13x+8=2x^2\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}$

 

Từ $x=y^2$ suy ra $x\geqslant 0$

 

Áp dụng BĐT Cauchy $2x^2\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}\leqslant \frac{2x^2(3x^2+4x)}{3}\Rightarrow 7x^4+13x+8\leqslant \frac{6x^4+8x^3}{3}$

 

$\Rightarrow 15x^4-8x^3+39x+24\leqslant 0$ (pt này vô nghiệm vì

 

$2(x^4+x^4+x^4+1)\geqslant 8x^3\Rightarrow VT\geqslant 9x^4+39x+16>0(x\geqslant 0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 25-04-2014 - 18:31

[henry0905]

Xét thấy $x=y=0$ không phải nghiệm của pt nên $x,y\neq 0$

 

Đặt $x=ty$

 

Khi đó PT $(1)\Leftrightarrow t^{2013}y^{2013}+ty^{2014}=y^{2026}+y^{2014}$

 

$\Leftrightarrow t^{2013}+t=y^{2013}+y$

 

$\Leftrightarrow (t-y)(....+1)=0$

 

Ta chứng minh được biểu thức trong ngoặc $> 0\Rightarrow t=y\Rightarrow x=y^2$

 

Thế vào pt $(2)$ (như thế này k chắc chắn đúng)

 

pt $(2)$ $7x^4+13x+8=2x^2\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}$

 

Từ $x=y^2$ suy ra $x\geqslant 0$

 

Áp dụng BĐT Cauchy $2x^2\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}\leqslant \frac{2x^2(3x^2+4x)}{3}\Rightarrow 7x^4+13x+8\leqslant \frac{6x^4+8x^3}{3}$

 

$\Rightarrow 15x^4-8x^3+39x+24\leqslant 0$ (pt này vô nghiệm vì

 

$2(x^4+x^4+x^4+1)\geqslant 8x^3\Rightarrow VT\geqslant 9x^4+39x+16>0(x\geqslant 0)$

Trong căn đâu phải các số dương mà Cauchy. Bạn chứng minh được $3x^{2}+3x-1\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 27-04-2014 - 01:40

[Kaito Kuroba]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} & \\ 7x^{4}+13x+8=2y^{4}\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} & \end{matrix}\right.$

C2: dùng tính đơn điệu của hàm số!!

ta thấy rằng $x=y=0$ không phải là nghiệm của hệ, ta có:

$$x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014}
\Rightarrow \left ( \frac{x}{y} \right )^{2013}+\frac{x}{y}=y^{2013}+y$$

xét hám số: $$f_{(t)}=t^{2013}+t
\Rightarrow f_{(t)}'=4026t^{2012}+1>0$$ suy ra hàm đồng biến!

từ đây suy ra: $$\frac{x}{y}=y\Rightarrow x=y^2$$

sau đó thế vào pt còn lại suy ra được 2 nghiệm:

$(x;y)=\left ( \frac{6}{\sqrt{89}-5};\pm \sqrt{\frac{6}{\sqrt{89}-5}} \right )$

[lahantaithe99]

Trong căn đâu phải các số dương mà Cauchy. Bạn chứng minh được $3x^{2}+3x-1\geq 0$

Cái này chưa nói nhưng cũng dễ dàng suy ra được vì

 

$x=y^2\Rightarrow x\geqslant 0$

 

$\left\{\begin{matrix} 2x^2.\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}=7x^4+13x+8>0 & \\ x\geqslant 0 & \end{matrix}\right.$ nên trong căn chắc chắn dương