SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
TỈNH ĐẮK LẮK LỚP 12 NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 12 – THPT
(Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 180 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: 18/03/2014
Câu 1. (5,0 điểm).
Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + \left( {1 - 2m} \right)x + 2m}}{{x + m}}$ có đồ thị là $({C_m})$ và đường thẳng $\Delta :\;y = 1$
- Chứng minh rằng nếu $({C_m})$ cắt $\Delta$ tại điểm có hoành độ ${x_0}$ thì hệ số góc của tiếp tuyến với $({C_m})$ tại điểm đó là $k = \frac{{2{x_0} - 2m}}{{{x_0} + m}}$.
- Xác định m để $({C_m})$ cắt $\Delta$ tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với $({C_m})$ tại hai giao điểm đó vuông góc với nhau.
Câu 2. (5,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 3\\
\sqrt x + \sqrt {xy} + \sqrt {xyz} = 1 + 2\sqrt[3]{{xyz}}\\
\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right) = {\left( {1 + \sqrt[3]{{xyz}}} \right)^3}
\end{array} \right.$
Câu 3. (5,0 điểm).
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi ${S_1},{S_2},{S_3}$ lần lượt là diện tích của các tam giác OAB, OBC, OCA. Trên đáy ABC lấy điểm P bất kỳ, gọi ${R_1},{R_2},{R_3}$ lần lượt là diện tích của các tam giác PAB, PBC, PCA. Xác định vị trí của điểm P sao cho biểu thức $T = \frac{{R_1^2}}{{S_1^2}} + \frac{{R_2^2}}{{S_2^2}} + \frac{{R_3^2}}{{S_3^2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4. (5,0 điểm).
Cho $\alpha$ là số thực, $f(x)$ là một hàm số sao cho: ${\alpha ^3} - \alpha = {\left[ {f(\alpha )} \right]^3} - f(\alpha ) = {3^{2014}}$
Ta định nghĩa ${f^n}(x) = \underbrace {f(f(f(...f(x)...)))}_{n lan f}$ , n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng ${\left( {{f^n}(\alpha )} \right)^3} - {f^n}(\alpha ) = {3^{2014}}$
---------------------- HẾT ----------------------
File gửi kèm
-
De thi HSG Toan Dak Lak 2013 2014.pdf 59.75K
928 Số lần tải
