Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ cắt $(d):y=-x+m$ tại hai điểm phân biệt $A,\,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất

[25 minutes]

Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-1}$ cắt $(d):y=-x+m$ tại hai điểm phân biệt $A,\,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $\frac{x-2}{x-1}=-x+m\Leftrightarrow x^2-mx+m-2=0$

Ta phải có $\Delta =m^2-4(m-2)>0$, luôn đúng với mọi $m$

Khi đó tọa độ giao điểm là $x_{1,2}=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4m+8}}{2}$

Giả sử $\left\{\begin{matrix} A(\frac{m+\sqrt{m^2-4m+8}}{2},\frac{m-\sqrt{m^2-4m+8}}{2})\\B(\frac{m-\sqrt{m^2-4m+8}}{2},\frac{m+\sqrt{m^2-4m+8}}{2}) \end{matrix}\right.$

Khi đó $AB^2=2(m^2-4m+8)=2(m-2)^2+8 \geqslant 8$

Đẳng thức xảy ra khi $m=2$