Chủ đề này có 2 trả lời

[vutung97]

Rút gọn hộ mình các biểu thức sau:

1. $cos^{2}a+cos^{2}2a++...+cos^{2}na$

2. $cos\frac{\Pi }{2n+1}-cos\frac{2\Pi  }{2n+1}+...+(-1)^{n+1}cos\frac{n\Pi  }{2n+1}$

3. $\frac{1}{4cos^{2}\frac{a}{2}}+\frac{1}{4^{2}cos^{2}\frac{a}{2^{2}}}+...+\frac{1}{4^{n}cos^{2}\frac{a}{2^{n}}}$

4. $\frac{1}{cosacos2a}+\frac{1}{cos2acos3a}+...+\frac{1}{cosnacos(n+1)a}$

5. CM:

$sin^{4}x+cos^{4}(x+\frac{\Pi }{4})=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(2x+\frac{\Pi }{4})$

Mod: Chú ý kẹp $ vào đầu và cuối đoạn công thức

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 02-05-2014 - 17:30

[mylinh998]

Câu 1:

Xét:

$\forall k\epsilon N^*: 2\sin a\cos2ka=\sin{(2k+1)a}-sin(2k-1)a$

 

Ta có:

- Xét $a= 2k\pi \Rightarrow A=0$

- Xét $a\neq 2k\pi \Rightarrow \sin\frac{a}{2} \neq 0$

$\cos^{2}a+\cos^{2}2a+...+\cos^{2}na=\frac{1+\cos2a}{2}+\frac{1+\cos4a}{2}+...+\frac{1+\cos2na}{2}$

$=\frac{n}{2}+\frac{1}{2\sin a}.\sin a(\cos 2na+...+\cos 4a+\cos 2a)$

$=\frac{n}{2}+\frac{1}{2\sin a}.[\sin (2n+1)a-\sin (2n-1)a+...+\sin 5a-\sin 3a+\sin 3a-\sin a]$

$=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}.[\frac{\sin (2n+1)a}{\sin a}-1]$

$=\frac{n-1}{2}+\frac{\sin (2n+1)a}{2\sin a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mylinh998: 03-05-2014 - 18:52

[mylinh998]

Câu 2:

Xét:

$\forall k\epsilon N^*: 2\cos\frac{a}{2}\cos ka=\cos\frac{(2k-1)a}{2}+\cos\frac{(2k+1)a}{2}$
 

$\Rightarrow2\cos\frac{a}{2}\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos ka}=\sum_{k=1}^{n} {(-1)^{k+1}\cos\frac{(2k-1)a}{2}+(-1)^{k+1}\cos\frac{(2k+1)a}{2}}$
$=\cos\frac{a}{2}+(-1)^{n+1}\cos\frac{(2n+1)a}{2}$
$\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos ka}=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^{k+1}}{2}.\frac{\cos\frac{(2n+1)a}{2}}{cos\frac{a}{2}}$

 

Thay $a=\frac{\pi }{2n+1}$, ta được:

$\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^{k+1}}{2}.\frac{\cos\frac{(2n+1)\pi}{2(2n+1)}}{cos\frac{\pi}{2(2n+1)}}=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^{k+1}}{2}.\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{cos\frac{\pi}{4n+2}}=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mylinh998: 03-05-2014 - 17:24