Chủ đề này có 1 trả lời

[ldvhuy09]

Tìm nguyên hàm của $\int ln(x+\sqrt{x^{2}+1})dx$

[Kool LL]

Tìm nguyên hàm của $I=\int \ln (x+\sqrt{x^{2}+1})dx$

Đặt $t=x+\sqrt{x^2+1}$, ta có : $\frac{1}{t}=\sqrt{x^2+1}-x$ và $t+\frac{1}{t}=2\sqrt{x^2+1}\ ;\ t-\frac{1}{t}=2x\Rightarrow dx=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt$

Suy ra $I=\int \ln t.\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt$

Đặt $\left\{\begin{array}\\u=\ln t \\ dv=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt\end{array}\right.\rightarrow$ Chọn $\left\{\begin{array}\\du=\frac{1}{t}dt \\ v=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\end{array}\right.$

Suy ra $I=\int udv=uv-\int vdu=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right).\ln t-\int\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)dt$ $=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right).\ln t-\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$ $=x.\ln(x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}\ ./.$