Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn điều kiện $0\leq x,y,z\leq 2$ và $x+y+z=3$. Tìm max và min của biểu thức:

$P=x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$

( Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Toán - Tin năm 2009)

[Hoang Tung 126]

Cho $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn điều kiện $0\leq x,y,z\leq 2$ và $x+y+z=3$. Tìm max và min của biểu thức:

$P=x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$

( Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Toán - Tin năm 2009)

  Định gõ đêm qua nhưng tự nhiên ghi bàn nên lại chạy ra xem .....      

-Để tìm Min .Ta xác định dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$.Do đó $P=3$

Ta CM :$P\geq 3< = > \sum x^4+12(1-x)(1-y)(1-z)\geq 3< = > \sum x^4+12(\sum xy-xyz-2)\geq 3< = > \sum x^4+12\sum xy\geq 12xyz+27< = > \sum x^4+\frac{4(\sum xy)(\sum x)^2}{3}\geq 4xyz(\sum x)+\frac{(\sum x)^4}{3}< = > 3\sum x^4+4(\sum xy)(\sum x)^2\geq 12xyz(\sum x)+(\sum x)^4< = > 3\sum x^4+4\sum xy(x^2+y^2)+8\sum x^2y^2+20xyz\sum x\geq 12xyz\sum x+\sum x^4+4\sum xy(x^2+y^2)+6\sum x^2y^2+12xyz\sum x< = > 2\sum x^4+2\sum x^2y^2\geq 4xyz\sum x< = > \sum x^4+\sum x^2y^2\geq 2xyz\sum x$

Do ta đồng nhất $x+y+z=3$

Nhưng bđt này luôn đúng theo AM-GM có:$\sum x^4+\sum x^2y^2\geq 2\sum x^2y^2\geq 2xyz\sum x$

  Vậy P Min= 3 khi x=y=z=1

 

-Để tìm Max. Ta xác định dấu = xảy ra khi $x=3,y=z=0$ và các hoán  vị. Do đó $P=57$

Ta CM ;$P\leq 57< = > \sum x^4+12\sum xy-12xyz\leq 57+24=81< = > \sum x^4+\frac{4(\sum xy)(\sum x)^2}{3}-4xyz(\sum x)\leq (\sum x)^4< = > 3\sum x^4+4(\sum xy)(\sum x)^2-12xyz(\sum x)\leq 3(\sum x)^4< = > 3\sum x^4+4\sum xy(x^2+y^2)+20xyz\sum x+8\sum x^2y^2\leq 12xyz\sum x+3(\sum x^2+2\sum xy)^2=12xyz\sum x+3(\sum x^4+4\sum xy(x^2+y^2)+6\sum x^2y^2+12xyz\sum x)< = > 8\sum xy(x^2+y^2)+10\sum x^2y^2+28xyz\sum x\geq 0$(BĐT này luôn đúng do $x,y,z\geq 0$)

  Vậy P Max = 57 khi x=3,y=z=0

[nguyenhongsonk612]

-Để tìm Max. Ta xác định dấu = xảy ra khi $x=3,y=z=0$ và các hoán  vị. Do đó $P=57$

Ta CM ;$P\leq 57< = > \sum x^4+12\sum xy-12xyz\leq 57+24=81< = > \sum x^4+\frac{4(\sum xy)(\sum x)^2}{3}-4xyz(\sum x)\leq (\sum x)^4< = > 3\sum x^4+4(\sum xy)(\sum x)^2-12xyz(\sum x)\leq 3(\sum x)^4< = > 3\sum x^4+4\sum xy(x^2+y^2)+20xyz\sum x+8\sum x^2y^2\leq 12xyz\sum x+3(\sum x^2+2\sum xy)^2=12xyz\sum x+3(\sum x^4+4\sum xy(x^2+y^2)+6\sum x^2y^2+12xyz\sum x)< = > 8\sum xy(x^2+y^2)+10\sum x^2y^2+28xyz\sum x\geq 0$(BĐT này luôn đúng do $x,y,z\geq 0$)

  Vậy P Max = 57 khi x=3,y=z=0

Anh ơi, hình như có vấn đề. Đề bài cho điều kiện là $0\leq x,y,z\leq 2$ mà dấu bằng lại là $x=3;y=z=0$?

[Tru09]

Hướng giải :

Đặt x-1 =a ,y-1 =b ,z-1=c

thì a^3 +b^3 +c^3 =3abc

Thay vào đề bài thì dễ tính mã với min thôi

Max =17 khi x=0 ,y=1 ,z=2 và các hoán vị

Min =3 khi x=y=z=1

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn điều kiện $0\leq x,y,z\leq 2$ và $x+y+z=3$. Tìm max và min của biểu thức:

$P=x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$

( Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Toán - Tin năm 2009)

Giải:

Trước hết ta C/m $3\leq A=x^2+y^2+z^2\leq 5$.

Đặt: $a=x-1;b=y-1;c=z-1$ $\Rightarrow a+b+c=0$

$\Rightarrow$ Trong $a,b,c$, tồn tại hai số cùng dấu. 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a$ và $b$ $\Rightarrow 2ab\geq 0$

Vì $x,y,z \in [0;2]\Rightarrow a,b,c \in [-1;1]$ $\Rightarrow c^2\leq 1$

Ta có: 

$A=x^2+y^2+z^2= (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2= a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)+3= a^2+b^2+c^2+3\geq 3$

$A= a^2+b^2+c^2+3\leq (a^2+2ab+b^2)+c^2+3= (a+b)^2+c^2+3= (-c)^2+c^2+3= 2c^2+3\leq 5$

$\Rightarrow 3\leq x^2+y^2+z^2\leq 5\Leftrightarrow 0\leq a^2+b^2+c^2\leq 2$

$P=x^4+y^4+z^4-12(x-1)(y-1)(z-1)= (a+1)^4+(b+1)^4+(c+1)^4-12abc= a^4+b^4+c^4+4(a^3+b^3+c^3)-12abc+6(a^2+b^2+c^2)+4(a+b+c)+3= a^4+b^4+c^4+4(a^3+b^3+c^3-3abc)+6(a^2+b^2+c^2)+3= a^4+b^4+c^4+6(a^2+b^2+c^2)+3\geq 3$

$\Rightarrow$ Min$ P = 3$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1$

Ta C/m $a^4+b^4+c^4\leq 2$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\leq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2(a^2-1)+b^2(b^2-1)+c^2(c^2-1)\leq 0$ (Đúng vì $a,b,c \in [-1;1]$)

Mà $a^2+b^2+c^2\leq 2$

$\Rightarrow$$a^4+b^4+c^4\leq 2$

$\Rightarrow$ $P\leq 2+6.2+3=17$. Vậy Max $P=17$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=0;y=1;z=2$ và các hoán vị

P/s: Không biết thế nào nữa!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 30-04-2014 - 13:20