Chủ đề này có 2 trả lời

[henry0905]

Cho $a^{2}+2b^{2}=2$. Chứng minh $\frac{-25}{4}\leq ab+3b^{2}-a^{2}\leq \frac{29}{4}$

[NMDuc98]

Cho $a^{2}+2b^{2}=2$. Chứng minh $\frac{-25}{4}\leq ab+3b^{2}-a^{2}\leq \frac{29}{4}$

HD:

Đặt: $A=ab+3b^2-a^2;M=\frac{A}{2}$

Xét $b=0$ suy ra $a=\pm \sqrt{2}$ thay vào $A$.

Xét $b \ne 0$:

$M=\frac{A}{2}=\frac{ab+3b^2-a^2}{a^2+2b^2}=\frac{\frac{a}{b}-\left ( \frac{a}{b} \right )^2+3}{\left ( \frac{a}{b} \right )^2+2}$  
Đăt: $x=\frac{a}{b}$ ta suy ra:

$M=\frac{-x^2+x+3}{x^2+2}$.

Đến đây có thể sử dụng miền giá trị để đánh giá miền giá trị của $M$ và từ đó suy ra được miền giá trị của $A$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 01-05-2014 - 02:38

[henry0905]

HD:

Đặt: $A=ab+3b^2-a^2;M=\frac{A}{2}$
Xét $b=0$ suy ra $a=\pm \sqrt{2}$ thay vào $A$.
Xét $b \ne 0$:
$M=\frac{A}{2}=\frac{ab+3b^2-a^2}{a^2+2b^2}=\frac{\frac{a}{b}-\left ( \frac{a}{b} \right )^2+3}{\left ( \frac{a}{b} \right )^2+2}$
Đăt: $x=\frac{a}{b}$ ta suy ra:
$M=\frac{-x^2+x+3}{x^2+2}$.
Đến đây có thể sử dụng miền giá trị để đánh giá miền giá trị của $M$ và từ đó suy ra được miền giá trị của $A$.

Mình nghĩ bài này có thể giải theo hướng lượng giác đặt $\frac{a}{\sqrt{2}}=sin x, b=cos x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 01-05-2014 - 09:32