Chủ đề này có 2 trả lời

[tanh]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 & \\ x^2+y^2+z^2=1 & \end{matrix}\right.$

Tìm max:

$P=x^3+y^3+z^3$

[NMDuc98]

 

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 & \\ x^2+y^2+z^2=1 & \end{matrix}\right.$

Tìm max:

$P=x^3+y^3+z^3$

 

Ta có:

$P=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+x)(z+x)=-3(x+y)(y+z)(z+x)$

Mặt khác:

$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=-xyz$

Suy ra:

$P=3xyz$

Áp dụng BĐT cho 3 số không âm $x^2,y^2,z^2$ ta có:

$1=x^2+y^2+x^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2x^2}\Rightarrow (xyz)^2\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow -\frac{1}{3\sqrt{3}}\leq xyz\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

Suy ra:

$P\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 01-05-2014 - 20:08

[huythcsminhtan]

Ta có:

$P=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+x)(z+x)=-3(x+y)(y+z)(z+x)$

Mặt khác:

$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=-xyz$

Suy ra:

$P=3xyz$

Áp dụng BĐT cho 3 số không âm $x^2,y^2,z^2$ ta có:

$1=x^2+y^2+x^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow (abc)^2\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow -\frac{1}{3\sqrt{3}}\leq abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

Suy ra:

$P\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Hì hì anh sửa lại đi ...  đang x,y,z sao lại nhảy sang a,b,c thế anh

 

Viết luôn hộ em dấu bằng xảy ra khi nào nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 01-05-2014 - 19:54