Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenkimanh12]

Giải phương trình:

1. $2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$

2. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^2+\sqrt{3(x+y)}\\ 2x-y=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$

[NMDuc98]

Giải phương trình:

1. $2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$

2. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^2+\sqrt{3(x+y)}\\ 2x-y=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$

1:

Đặt:$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{x^2+2}>0 & & \\ b=\sqrt{x^2+2x+3}>0 & & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có:$\left\{\begin{matrix}2x+1=b^2-a^2 &\\x=\frac{b^2-a^2-1}{2} & \\ x+1=\frac{b^2-a+1}{2} \end{matrix}\right.$

Phương trinh đã cho trở thành:

$b^2-a^2+\frac{b^2-a^2-1}{2}.a+\frac{b^2-a^2+1}{2}.b=0$

$\Leftrightarrow (b-a)(a+b+1)^2=0$

$\Leftrightarrow b=a$   (Do $a>0,b>0$ nên $(a+b+1)^2>0$)

Với $b=a$ ta có:

$\sqrt{x^2+2}=\sqrt{x^2+2x+3}\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$

Thử lại ta thấy $x=\frac{-1}{2}$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 04-05-2014 - 22:43

[NMDuc98]

Giải hệ phương trình:

2. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^2+\sqrt{3(x+y)}~~~~(1) \\ 2x-y=\frac{3}{2}~~~~(2) \end{matrix}\right.$

ĐK: $x+y \ge 0$
Đặt: $a=x+y \ge 0$.Khi đó từ $(1)$ ta có:

$\sqrt{a+1}+1=4a^2+\sqrt{3a}$

$\Leftrightarrow 4a^2-1+\sqrt{3a}-\sqrt{a+1}=0$

$\Leftrightarrow (2a-1)(2a+1)+\frac{2a-1}{\sqrt{3a}+\sqrt{a+1}}=0$

$\Leftrightarrow (2a-1)\left ( 2a+1+\frac{1}{\sqrt{3a}+\sqrt{a+1}} \right )=0$

$\Leftrightarrow 2a-1=0$ (Do $2a+1+\frac{1}{\sqrt{3a}+\sqrt{a+1}}>0~~~\forall a \ge 0$)
$\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$  (t/m ĐK)
Với $a=\frac{1}{2}$ ta có:

$x+y=\frac{1}{2}~~~(3)$

Từ $(2)$ và $(3)$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{2}\\ 2x-y=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} & & \\ y=\frac{-1}{6} \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=(\frac{2}{3};\frac{-1}{6})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 04-05-2014 - 23:01

[levanvu12a1]

$\Leftrightarrow$ $x+x\sqrt{x^2+1}+x+1+(x+1)\sqrt{{(x+1)}^2+1}=0$

Đặt $f(t)=t+t\sqrt{t^2+1}$ Pt trở thành $f(x)+f(x+1)=0$

Dễ thấy f(t)là hàm đồng biến $ \Leftrightarrow $ $f(x)+f(x+1) $ cũng là một hàm đồng biến 

$\Leftrightarrow $ Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{2}$

(giúp mình câu pt ở cúng chuyên mục nhé)