Chủ đề này có 1 trả lời

[duongluan1998]

Nếu a,bc>0 CMR

$\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum a}{4}$

[Kaito Kuroba]

Nếu a,bc>0 CMR

$\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum a}{4}$

ta có: $$\\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{3.\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left ( \frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+a \right )=\frac{9}{16}.\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )+\frac{a+b+c}{16}$$

từ đây ta chỉ cần chứng minh rằng: $$\frac{9}{16}\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )\leq \frac{3}{16}\sum a
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab^2+\sum a^2b\geq 3\sum ab^2
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum a^2b\geq 2\sum ab^2$$

mặt khác BĐT luôn đúng vì AM-GM:

$$\sum \left (2a^3+a^2b+ab^2  \right )\geq 4\sum ab^2$$

đến đây là OK rồi!!!!